WWW.DIS.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 17 |

Куприянов владимир викторович численно-экспериментальное исследование вращательной динамики спутников планет 01.03.01 – астрометрия и небесная механика диссертация на соискание

-- [ Страница 10 ] --

Возникает важный вопрос: как теория сепаратрисных отображений и подход, основанный на зависимости от константы Якоби и выраженный эм­ Рис. 3.6. Зависимость верхней границы (1) от величины сдвига ; заштрихованные круж­ ки — асимметричный случай, заштрихованные квадратики — =, пустые кружки — пирической формулой (3.7), стыкуются друг с другом? На самом деле, некото­ рые из спутников в табл. 3.1 близки к вытянутому осесимметричному случаю и находятся на практически круговых орбитах. Лучше всего удовлетворяет обоим этим условиям Протей. Полагая формально = 0 и вычисляя с теми же начальными условиями, что и в разделе 3.3, находим, что результирую­ щие значения для большинства спутников слишком малы, чтобы выраже­ ние (3.7) стало к ним применимо.2 Только Протей может быть использован для сравнения двух подходов: в дополнение к подходящим инерционным и орбитальным параметрам, он обладает наибольшим в нашей выборке значе­ нием, а именно = 0.9524. Можно видеть, что значение (1) = 0.043, по­ лученное в результате численного интегрирования (см. табл. 3.1), находится в хорошем согласии с тем, которое дается (3.7): (1) = 0.054. Последнее даже го­ раздо лучше, чем оценка по теории сепаратрисных отображений (1) = 0. ([86]). Следовательно, в случае Протея два аналитических подхода и резуль­ тат численного моделирования находятся в хорошем согласии.

Получающиеся значения L отрицательны, что значит, что (3.7) неприменимо при таких значени­ ях константы Якоби.

В заключение данного раздела рассмотрим качественные свойства на­ блюдаемой зависимости «константа Якоби — ХПЛ». Прежде всего, отметим, что рост МХПЛ с увеличением согласуется с поведением другой известной гамильтоновой системы — а именно, системы Хенона–Хейлеса. Там указан­ ный рост также наблюдался [5], однако функциональный вид зависимости был другим.

Бенеттин и др. [5] обнаружили, что МХПЛ хаотического движения систе­ мы Хенона–Хейлеса имеет положительную корреляцию с мерой хаотической компоненты фазового пространства. Естественно ожидать, что это имеет ме­ сто также и для нашей динамической системы. Рассмотрим пример графика зависимости максимальной угловой скорости max, достигнутой в ходе инте­ грирования, от значения константы Якоби.3 Он приведен на рис. 3.7. Дей­ ствительно, max увеличивается с ростом. Это подтверждает, что размер хаотической области растет, и, следовательно, МХПЛ положительно корре­ лирует с мерой хаотической компоненты. Отметим неожиданное свойство за­ висимости «max – »: она выглядит гладкой. Можно было бы ожидать, на­ оборот, разрывного графика, поскольку рост меры хаотической компоненты сопровождается поглощением более мелких хаотических областей, каждое из которых должно повлечь за собой скачок зависимости.

Практически все наблюдаемые зависимости «константы Якоби — ХПЛ»

обладают одним очевидным общим свойством: они теряют регулярность при более высоких значениях константы Якоби. Чтобы прояснить это явление, рассмотрим графики зависимости текущей мгновенной оценки МХПЛ от вре­ мени. Достаточно нагляден в этом отношении рис. 3.8, позволяющий оценить типичные времена выхода на плато для различных значений. Мы положи­ ли / = 0.25, / = 0.5, = 0 (соответствующая зависимость «констан­ Вспомним, что зависимость мгновенной угловой скорости от времени имеет хаотический харак­ тер.

Рис. 3.7. Зависимость максимальной угловой скорости max от константы Якоби; / = 0.25, / = 0. ты Якоби — ХПЛ» приведена на рис. 3.3). Верхние кривые соответствуют максимальному ( = 2.248), а нижние (жирная кривая) — минимальному ( = 0.248) значению константы Якоби. Рис. 3.8 помогает понять, почему зависимости на рис. 3.3 и 3.4 становятся менее регулярны при более высоких значениях константы Якоби: очевидно, необходимое время достижения насы­ щения ХПЛ больше для более высоких значений, что приводит к большей неопределенности при вычислении ХПЛ.

3.6. Точность вычисления компонент ляпуновского В круговой задаче ( = 0) наша динамическая система автономна, и зна­ чение константы Якоби, определяемое выражением (3.6), постоянно и должно сохраняться в ходе интегрирования. Это условие можно считать дополнитель­ ным тестом численной устойчивости интегратора. Мы применили этот тест для / = 0.25, / = 0.5 и начальных условий, соответствующих = 2.24812. Результаты теста следующие: для [0, 106 ] имеем min = 2.24753, Рис. 3.8. Мгновенные значения (1) в зависимости от времени. / = 0.25, / = 0.5, = 0; = 2.248 (верхние кривые) и = 0.248 (нижние кривые, жирные). Рис. (b) является частью (a) с бльшим масштабом по.

Таблица 3.2. Коэффициенты линейной аппроксимации зависимости (1) () Таблица 3.3. Коэффициенты линейной аппроксимации зависимости (2) () Рис. 3.9. Сумма всех компонент ляпуновского спектра для Гипериона max = 2.24902, то есть максимальное отклонение — порядка 0.04%; стан­ дартное отклонение = 1.5 · 104. Кроме того, в вариации отсутствует линейный тренд; более строго, линейная аппроксимация = + приводит к значению = (1 ± 8) · 1012.

Тестом верности вычисленных значений ХПЛ служит график суммы всех компонент ляпуновского спектра (включая отрицательные) в зависимо­ сти от времени. Для гамильтоновой системы, напомним, эта сумма должна равняться нулю. Мы провели этот тест для случая Гипериона (/ = 0.622, / = 0.884, = 0.1); см. рис. 3.9. Этот график можно сравнить с рис. 2. главы 2, где указанная сумма постоянно растет со временем, достигая значе­ ний порядка 0.001 при = 106. Ничего подобного не наблюдается на рис. 3.9.

Это наглядно показывает преимущества алгоритма, описанного в разделе 3.2.

Как было отмечено в разделе 3.2, метод HQRB известен как обладающий высокой численной устойчивостью. Однако некоторые факторы все же могут вносить вклад в неточную оценку ХПЛ. В силу хаотичности системы, неболь­ шие вариации начальных данных приводят к совершенно другой траектории на больших временах интегрирования. Тем не менее, значения оценок ХПЛ должны оставаться прежними, несмотря на это. Поэтому для повышения надежности результатов численного моделирования рекомендуется повторно вычислить ХПЛ для того же набора значений динамических параметров, но с немного другими начальными условиями. Дополнительным тестом служит также выполнение расчетов на компьютере другой аппаратно-программной архитектуры. Приведенные ниже графики иллюстрируют результаты таких тестов.

На рис. 3.10 показаны значения ХПЛ для / = 0.1, / [0.25, 1], = 0, вычисленные для наших исходных начальных данных 0 = 1.5, 0 = 0 = 0.01, 0 = 1, 0 = 0 = 0 (горизонтальная ось), в сравнении со значениями для смещенных начальных данных 0 = 0.99 (вертикальная ось). Графики показывают, что значения ХПЛ практически идентичны в обоих случаях.

На рис. 3.11 показаны результаты, полученные на нашей базовой вычис­ лительной системе, являющейся Intel-совместимым персональным компью­ тером архитектуры x86, в сравнении с результатами, полученными на парал­ лельном суперкомпьютере Parsytec CC/PP 8 архитектуры RISC, принадлежа­ щем Институту высокопроизводительных вычислений и баз данных в Санкт­ Петербурге. Полагается / = 0.5, / = 0.75, = 0. Интервалы ошибок отражают максимальные отклонения мгновенных оценок ХПЛ от их сред­ него по интервалу усреднения. Прямые линии соответствуют (1) (RISC) = (1) (PC) и (2) (RISC) = (2) (PC). Видно, что численные оценки ХПЛ практически не зависят от выбора архитектуры вычислительной системы.

Высокая точность вычислений, проводимых с помощью программного комплекса HQRB, дополнительно проверена путем интегрирования тестового случая свободного пространственного вращения, который является интегри­ руемым, и для которого известно аналитическое решение. Комплекс показал высокую численную устойчивость при расчетах спектров ХПЛ на больших временах, составляющих более 107 периодов обращения спутника.

Резюмируя результаты этого раздела, можно сделать вывод о том, что Рис. 3.10. Численные оценки of (1) (a) и (2) (b) для исходных и смещенных начальных данных Рис. 3.11. Численные оценки (1) (a) и (2) (b), полученные на двух различных аппаратно­ программных архитектурах полученные нами численные оценки ХПЛ можно считать истинными их зна­ чениями.

3.7. Выводы к третьей главе В данной главе изучается хаотической пространственной вращение ма­ лых спутников планет. Моделью спутника служит твердое тело — трехосный эллипсоид, обращающийся по постоянной эллиптической или круговой орби­ те. Исследованы спектры ХПЛ, вычисленные методом HQR [7], примененным к численному интегрированию уравнений вращательной динамики. Вычис­ ления проведены для выборки из 12 реальных спутников Марса, Юпитера, Сатурна и Нептуна, а также для модельных наборов параметров.

Для оценки сферы применимости «метода сепаратрисных отображений» [84, 86]) проведено сравнение МХПЛ с их значениями для тех же спутников, но с эксцентриситетом орбиты, формально положенным равным нулю. Обна­ ружено, что доминирующее влияние на младшие компоненты ляпуновского спектра оказывают резонансы, отличные от синхронного. В случае = наблюдается хорошее согласие теории сепаратрисных отображений с резуль­ татами численного моделирования, т. е. теория применима также в случае вытянутого осесимметричного спутника.

В численных экспериментах исследована зависимость компонент ляпу­ новского спектра от интеграла Якоби системы для асимметричного спутника на круговой орбите. Обнаружено, что эта зависимость линейна на началь­ ном участке. При бльших значениях константы Якоби зависимость образу­ ет нерегулярное плато или спад. Для случая вытянутого осесимметричного спутника зависимость носит универсальный характер. Определены нижние границы значений ляпуновского времени. Полученные простые линейные за­ висимости ХПЛ от константы Якоби системы для достаточно малых зна­ чений этой константы могут служить основой для дополнительного метода аналитического оценивания ХПЛ.

Вращательная динамика спутников планет:

обзор регулярного и хаотического поведения 4.1. Введение Непосредственные проявления хаоса в движении тел Солнечной системы до сих пор наблюдались только в отношении вращательного движения одного из спутников планет Солнечной системы, Гипериона — седьмого спутника Сатурна [6, 29, 65]. Хаос в орбитальном движении тел Солнечной системы (планет, астероидов, комет и спутников) проявляется на гораздо бльших временных масштабах, и соответствующее характерное ляпуновское время, время предсказуемости движения, много больше [87].

В качестве следующего после Гипериона вероятного кандидата для хао­ тического вращения была предложена Нереида, второй спутник Нептуна [16] — главным образом, в силу очень большого эксцентриситета ее орбиты. Боль­ шой эксцентриситет, с одной стороны, расширяет хаотическую область фазо­ вого пространства и, с другой стороны, как было показано [16], сокращает время приливного замедления вращения спутника. Наблюдения, однако, по­ казали [24], что Нереида вращается регулярно — а именно, слишком быстро, чтобы находиться в хаотическом состоянии.

В данной главе проводится обзор всех известных к настоящему времени спутников планет с целью выявить те из них, у которых мог бы наблюдаться хаос во вращательной динамике. В качестве инструмента исследования ис­ пользуется численное интегрирование модельных траекторий вращательного движения спутников, позволяющее определить оценки ХПЛ вращения и диа­ пазон изменения угловой скорости спутника на больших интервалах времени.



Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 17 |
 


Похожие материалы:

« Гожа Марина Львовна НАСЕЛЕНИЕ РАССЕЯННЫХ ЗВЕЗДНЫХ СКОПЛЕНИЙ ГАЛАКТИКИ 01.03.02 – астрофизика и звездная астрономия Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор В.А. Марсаков Ростов-на-Дону – 2014 2 Оглавление Введение………………………………………………………………………………. 5 Глава 1. Неоднородность населения рассеянных звездных скоплений в Галактике…………………………………………………………………………. 20 1.1 ...»

«ЧАЗОВ Вадим Викторович РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЙ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук Специальность 01.03.01. Астрометрия и небесная механика Москва – 2012 Содержание 1 Содержание Предисловие 7 1 Постановка задачи 17 1.1 Стандартные соглашения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.1 Системы отсчёта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.2 ...»

« УДК 524.7;524.72-4 КАЙСИНА Елена Ивановна БАЗОВЫЕ СВОЙСТВА ГАЛАКТИК МЕСТНОГО ОБЪЕМА (01.03.02 - Астрофизика и звездная астрономия) ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук Научный руководитель: доктор физико–математических наук, профессор Караченцев И. Д. Нижний Архыз – 2014 2 Оглавление Введение Общая характеристика работы Актуальность Цели и задачи исследования Научная новизна Научная и практическая ценность работы Основные результаты ...»







 
© 2013 www.dis.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.