Куприянов владимир викторович численно-экспериментальное исследование вращательной динамики спутников планет 01.03.01 – астрометрия и небесная механика диссертация на соискание
Статистические следствия эффекта прилипания в гамильтоновых системах описаны в работе [42]; продолжительность такого прилипания может быть весьма значительна.
На рис. 4.2 представлена диаграмма максимальных диапазонов измене ния угловой скорости для спутников Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна в предположении, что их вращательные состояния находятся в хаотической зоне вблизи сепаратрисы синхронного резонанса. Спутники Марса здесь не представлены; для них min = 0.05, max = 3.87 (Фобос) и min = 0.20, max = 1.81 (Деймос). На горизонтальной оси рис. 4.2 отложен порядковый номер спутника. Для спутников с известным периодом вращения rot наблю даемая в настоящее время угловая скорость показана кружком. В большин стве случаев = 1; исключением являются лишь два спутника Сатурна:
Феба (S9), период вращения которой приблизительно в 1400 раз меньше ее периода обращения, и Гиперион (S7), вращающийся хаотически.
Анализ таблицы 4.1 и диаграммы на рис. 4.2 показывает, что критерий вариации угловой скорости, на самом деле, не является очень существенным:
большинство спутников испытывало бы значительные колебания, будь их вращение хаотическим. Однако для некоторых спутников такие вариации оказываются весьма значительными, так что отношение max /min достигает 1700 в случае Эпиметея (S11).
Ляпуновские времена, выраженные в единицах периода обращения, на ходятся в диапазоне 1–100 для всех несферических спутников, за исклю чением J2, J3 и J4. Малость величины ляпуновского времени оправдывает постфактум наше предположение о движении по фиксированной эллиптиче ской орбите. Как правило, изменения орбиты, вызванные внешними возму щениями, происходят на бльших масштабах времени; для случая Гипериона см. [29] и [6].
Подводя итог результатам данного раздела, выясним, какие из спутни ков таблицы 4.1 могли бы находиться в состоянии хаотического вращения.
Прежде всего, кандидатуры для хаотического вращения следует искать сре Рис. 4.2. Полные диапазоны изменения угловой скорости спутников в случае, если бы дви жение было хаотическим. На горизонтальной оси отложен порядковый номер спутника.
Показаны только спутники с известными значениями инерционных и орбитальных пара метров ди тел с ранее не известным режимом вращения. В таблице таковых восемь:
Адрастея (J15), Метида (J16), Елена (S12), Атлас (S15), Прометей (S16), Пан дора (S17), Ларисса (N7) и Протей (N8). Однако данные о форме Метиды и Лариссы частично гипотетические (см. выше), и мы полагаем данные, по лученные для этих двух спутников, предварительными и оставляем их для будущего исследования. Не считая Гипериона, хаотический характер враща тельной динамики которого твердо установлен, у нас остается шесть кандида тов: Адрастея (J15), Елена (S12), Атлас (S15), Прометей (S16), Пандора (S17) и Протей (N8). Все они характеризуются достаточно большим диапазоном из менения угловой скорости и малым ляпуновским временем для движения в хаотической области фазового пространства; при этом информация об их ис тинном состоянии вращения пока что отсутствует.
Некоторые другие спутники, такие как Амальтея (J5), Теба (J14), Янус (S10), Эпиметей (S11), Миранда (U5), в настоящее время находящиеся, по данным наблюдений, в состоянии синхронного вращения, также могут за служивать внимания наблюдателей, поскольку синхронное вращение может иметь место не только в случае регулярного движения, но также и в случае «прилипания» траектории хаотического вращения к границе хаотического слоя, соответствующей либрации резонансной фазы.
Приведенные выше критерии говорят о наблюдаемости хаоса в том слу чае, когда хаос действительно имеет место. С динамической же точки зрения решающим критерием возможности хаотического вращения является то, мо жет ли спутник находиться в синхронном резонансе — обычной конечной стадии приливной эволюции.
4.4. Устойчивость синхронного резонанса Устойчивость вращательного движения несферического спутника в син хронном спин-орбитальном состоянии на эллиптической орбите изучалась ра нее в работе Мельникова и Шевченко [76]. В синхронном состоянии ось вра щения спутника совпадает с осью его наибольшего главного момента инерции и перпендикулярна плоскости орбиты. Посредством вычисления мультипли каторов линеаризованных гамильтоновых уравнений движения в плоскости (/, /) ( — главные центральные моменты инерции) были локализованы области устойчивости и неустойчивости по отношению к изме нению ориентации спутника. Высокое разрешение, достигнутое авторами [76] в локализации границ этих областей, позволило им наложить дополнитель ные ограничения на возможные значения инерционных параметров Гипери она (S7), а для Амальтеи (J5) — сделать вывод о неустойчивости относи тельного движения по отношению к изменению ориентации в одной из двух возможных синхронных спин-орбитальных мод — а именно, в так называемой альфа-моде.
Понятия альфа- и бета-мод синхронного резонанса, согласно [76], опреде лены следующим образом. Для спутника, находящегося на вытянутой орбите, при определенных значениях инерционных параметров синхронный резонанс может обладать двумя центрами в спин-орбитальном фазовом пространстве;
иными словами, может существовать два различных синхронных резонанса, устойчивых в задаче плоского вращения. В применении к естественным спут никам планет это явление было изучено в работе [58], хотя в исследованиях динамики искусственных спутников существование аналогичных устойчивых периодических решений уравнения Белецкого, описывающего плоские либра ции спутника на эллиптической орбите, было обнаружено еще в начале 60-х годов XX века ([79], см. также книгу [61] и приведенный в ней список лите ратуры).
Рассмотрим заданное в перицентре орбиты сечение спин-орбитального фазового пространства. При 0 = 0 существует единственный центр синхрон ного резонанса с координатами = 0 mod, / = 1. Если эксцентриси тет ненулевой, с ростом значения 0 центр резонанса смещается вниз вдоль оси /, и при определенном значении 0 (напр. для = 0.1 это значе ние 1.26) появляется еще один синхронный резонанс. Согласно [76], пер вый синхронный резонанс, возникающий при нулевом значении 0, называем альфа-модой, а второй — бета-модой синхронного резонанса.
При увеличении параметра 0 альфа- и бета-моды могут существовать одновременно в некотором ограниченном диапазоне 0, зависящем от вели чины эксцентриситета. В этом случае на сечении фазового пространства име ется два различных центра резонанса, находящихся при одном и том же зна чении угла ориентации спутника. Такое явление имеет место для Амальтеи [76]. С дальнейшим ростом параметра 0, при некотором его значении (напр.
0 1.37 для = 0.1) альфа-резонанс исчезает, т. е. он становится неустой чив в плоской задаче, и остается только бета-резонанс.
Диаграммы устойчивости, представленные на рис. 5–8 работы [76], по крывают необходимый диапазон значений эксцентриситета, так что можно сделать вывод, что для практически всех спутников, приведенных в табли це 4.1, значения инерционных параметров таковы, что синхронный резонанс устойчив; исключениями являются только уже известный Гиперион, а так же два новых кандидата — Прометей и Пандора. Этот вывод можно сделать визуально, по расположению спутника, согласно значениям его инерционных параметров из таблицы 4.1, на диаграмме (рис. 5–8 из [76]) для подходящего значения эксцентриситета. Для проверки этого здесь приводятся диаграм мы только для двух этих кандидатур на хаотическое вращение, поскольку остальные спутники (кроме, конечно, Гипериона) оказываются очень далеко от областей неустойчивости. Диаграммы приведены на рис. 4.3 и 4.4. Они были вычислены по нашей просьбе заново А. В. Мельниковым, которому мы приносим свою благодарность, с помощью методики, развитой и описанной в работе [76].
Метод расчета диаграммы следующий. Для начальных условий, соответ ствующих центру синхронного резонанса, на сетке значений (/, /) с малым шагом вычисляются мультипликаторы линеаризованных гамильтоно вых уравнений движения. Анализ распределения модулей мультипликаторов, построенных для ансамбля траекторий, позволяет отделить орбиты, устой чивые по отношению к наклону оси вращения, от неустойчивых. Непосред ственно из анализа модальной структуры распределения следует численный критерий отличия модулей мультипликаторов от единицы.
На рис. 4.3 и 4.4 область максимальной (две степени свободы) неустойчи вости показана черным; область минимальной (одна степень свободы) неустой чивости показана темно-серым. Для наглядности линии постоянного значе ния параметра динамической асимметрии (или, эквивалентно, частоты ма лых либраций, см. выше) 0 = 3( )/.
Из диаграмм устойчивости (рис. 4.3 и 4.4) очевидно, что и альфа-, и бета моды синхронного резонанса неустойчивы или близки к неустойчивым для случая Прометея. В случае Пандоры существует только альфа-мода, и она близка к неустойчивости. Для того, чтобы неустойчивость реализовалась в действительности, необязательно, чтобы спутник лежал точно в зоне неустой чивости на диаграмме; простой близости к ней может оказаться достаточно.
На самом деле, как было показано Кейном [28] для спутника на круговой орбите, зоны неустойчивости расширяются в пространстве параметров, если спутник находится не точно в синхронном состоянии, а испытывает либрации вокруг него с ненулевой амплитудой; с ростом амплитуды размер зон неустой чивости возрастает. Ясно, что тот же эффект имеет место для спутника на Рис. 4.3. Диаграммы устойчивости синхронного резонанса для эксцентриситета орбиты = 0.002 (Прометей). Вверху: диаграмма для альфа-моды; внизу: диаграмма для бета моды. Положение Прометея отмечено крестиком Рис. 4.4. Диаграмма устойчивости альфа-моды синхронного резонанса для эксцентриси тета орбиты = 0.004 (Пандора). Положение Пандоры отмечено крестиком эксцентрической орбите: следует ожидать большего размера зон неустойчи вости для либрирующего спутника.
Таким образом, помимо вращающегося хаотически Гипериона, только Прометей и Пандора удовлетворяют тесту на неустойчивость синхронного со стояния по отношению к наклону оси вращения. Учитывая, что, как установ лено в предыдущем разделе, два эти спутника характеризуются достаточно малыми ляпуновскими временами и большими диапазонами изменения уг ловой скорости движения в хаотической области фазового пространства, они оказываются основными кандидатами среди всех тел с известными инерцион ными и орбитальными параметрами на наблюдаемое хаотическое вращение.
4.5. Приливное замедление Для того, чтобы спутник попал в хаотическую область вблизи состоя ния синхронного вращения, его динамические и физические характеристики должны быть таковы, чтобы время его приливного торможения (см. [16, 58]) было достаточно мало — по крайней мере, меньше возраста Солнечной систе мы. В данном разделе рассмотрены теоретические оценки времени приливно го замедления для Прометея и Пандоры.
Время приливного замедления спутника можно оценить по следующей формуле [16]:
где и — это начальная и конечная угловая скорость спутника, соответ ственно, а является абсолютным значением скорости замедления вращения (см. выра жения (1) и (11) в [16]). Здесь — радиус спутника (мы полагаем = ()1/3 ), = 2/orb — среднее орбитальное движение, и — плотность и жесткость спутника, соответственно; — безразмерный приливной коэффициент (спе цифическая для данного спутника функция диссипации). Следует отметить, что в данном разделе значения не нормированы, а измеряются в обычных единицах обратного времени.
Поскольку эксцентриситеты орбит Прометея и Пандоры очень малы ( = 0.002 и 0.004, соответственно), в выражении (1) работы [16] можно пренебречь множителем, содержащим эксцентриситет, т. е. положить орбиты круговыми. Это хорошее приближение для указанных значений ; см. рис. работы [16].