Куприянов владимир викторович численно-экспериментальное исследование вращательной динамики спутников планет 01.03.01 – астрометрия и небесная механика диссертация на соискание

Статистические следствия эффекта прилипания в гамильтоновых системах описаны в работе [42]; продолжительность такого прилипания может быть весьма значительна.

На рис. 4.2 представлена диаграмма максимальных диапазонов измене­ ния угловой скорости для спутников Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна в предположении, что их вращательные состояния находятся в хаотической зоне вблизи сепаратрисы синхронного резонанса. Спутники Марса здесь не представлены; для них min = 0.05, max = 3.87 (Фобос) и min = 0.20, max = 1.81 (Деймос). На горизонтальной оси рис. 4.2 отложен порядковый номер спутника. Для спутников с известным периодом вращения rot наблю­ даемая в настоящее время угловая скорость показана кружком. В большин­ стве случаев = 1; исключением являются лишь два спутника Сатурна:

Феба (S9), период вращения которой приблизительно в 1400 раз меньше ее периода обращения, и Гиперион (S7), вращающийся хаотически.

Анализ таблицы 4.1 и диаграммы на рис. 4.2 показывает, что критерий вариации угловой скорости, на самом деле, не является очень существенным:

большинство спутников испытывало бы значительные колебания, будь их вращение хаотическим. Однако для некоторых спутников такие вариации оказываются весьма значительными, так что отношение max /min достигает 1700 в случае Эпиметея (S11).

Ляпуновские времена, выраженные в единицах периода обращения, на­ ходятся в диапазоне 1–100 для всех несферических спутников, за исклю­ чением J2, J3 и J4. Малость величины ляпуновского времени оправдывает постфактум наше предположение о движении по фиксированной эллиптиче­ ской орбите. Как правило, изменения орбиты, вызванные внешними возму­ щениями, происходят на бльших масштабах времени; для случая Гипериона см. [29] и [6].

Подводя итог результатам данного раздела, выясним, какие из спутни­ ков таблицы 4.1 могли бы находиться в состоянии хаотического вращения.

Прежде всего, кандидатуры для хаотического вращения следует искать сре­ Рис. 4.2. Полные диапазоны изменения угловой скорости спутников в случае, если бы дви­ жение было хаотическим. На горизонтальной оси отложен порядковый номер спутника.

Показаны только спутники с известными значениями инерционных и орбитальных пара­ метров ди тел с ранее не известным режимом вращения. В таблице таковых восемь:

Адрастея (J15), Метида (J16), Елена (S12), Атлас (S15), Прометей (S16), Пан­ дора (S17), Ларисса (N7) и Протей (N8). Однако данные о форме Метиды и Лариссы частично гипотетические (см. выше), и мы полагаем данные, по­ лученные для этих двух спутников, предварительными и оставляем их для будущего исследования. Не считая Гипериона, хаотический характер враща­ тельной динамики которого твердо установлен, у нас остается шесть кандида­ тов: Адрастея (J15), Елена (S12), Атлас (S15), Прометей (S16), Пандора (S17) и Протей (N8). Все они характеризуются достаточно большим диапазоном из­ менения угловой скорости и малым ляпуновским временем для движения в хаотической области фазового пространства; при этом информация об их ис­ тинном состоянии вращения пока что отсутствует.

Некоторые другие спутники, такие как Амальтея (J5), Теба (J14), Янус (S10), Эпиметей (S11), Миранда (U5), в настоящее время находящиеся, по данным наблюдений, в состоянии синхронного вращения, также могут за­ служивать внимания наблюдателей, поскольку синхронное вращение может иметь место не только в случае регулярного движения, но также и в случае «прилипания» траектории хаотического вращения к границе хаотического слоя, соответствующей либрации резонансной фазы.

Приведенные выше критерии говорят о наблюдаемости хаоса в том слу­ чае, когда хаос действительно имеет место. С динамической же точки зрения решающим критерием возможности хаотического вращения является то, мо­ жет ли спутник находиться в синхронном резонансе — обычной конечной стадии приливной эволюции.

4.4. Устойчивость синхронного резонанса Устойчивость вращательного движения несферического спутника в син­ хронном спин-орбитальном состоянии на эллиптической орбите изучалась ра­ нее в работе Мельникова и Шевченко [76]. В синхронном состоянии ось вра­ щения спутника совпадает с осью его наибольшего главного момента инерции и перпендикулярна плоскости орбиты. Посредством вычисления мультипли­ каторов линеаризованных гамильтоновых уравнений движения в плоскости (/, /) ( — главные центральные моменты инерции) были локализованы области устойчивости и неустойчивости по отношению к изме­ нению ориентации спутника. Высокое разрешение, достигнутое авторами [76] в локализации границ этих областей, позволило им наложить дополнитель­ ные ограничения на возможные значения инерционных параметров Гипери­ она (S7), а для Амальтеи (J5) — сделать вывод о неустойчивости относи­ тельного движения по отношению к изменению ориентации в одной из двух возможных синхронных спин-орбитальных мод — а именно, в так называемой альфа-моде.

Понятия альфа- и бета-мод синхронного резонанса, согласно [76], опреде­ лены следующим образом. Для спутника, находящегося на вытянутой орбите, при определенных значениях инерционных параметров синхронный резонанс может обладать двумя центрами в спин-орбитальном фазовом пространстве;

иными словами, может существовать два различных синхронных резонанса, устойчивых в задаче плоского вращения. В применении к естественным спут­ никам планет это явление было изучено в работе [58], хотя в исследованиях динамики искусственных спутников существование аналогичных устойчивых периодических решений уравнения Белецкого, описывающего плоские либра­ ции спутника на эллиптической орбите, было обнаружено еще в начале 60-х годов XX века ([79], см. также книгу [61] и приведенный в ней список лите­ ратуры).

Рассмотрим заданное в перицентре орбиты сечение спин-орбитального фазового пространства. При 0 = 0 существует единственный центр синхрон­ ного резонанса с координатами = 0 mod, / = 1. Если эксцентриси­ тет ненулевой, с ростом значения 0 центр резонанса смещается вниз вдоль оси /, и при определенном значении 0 (напр. для = 0.1 это значе­ ние 1.26) появляется еще один синхронный резонанс. Согласно [76], пер­ вый синхронный резонанс, возникающий при нулевом значении 0, называем альфа-модой, а второй — бета-модой синхронного резонанса.

При увеличении параметра 0 альфа- и бета-моды могут существовать одновременно в некотором ограниченном диапазоне 0, зависящем от вели­ чины эксцентриситета. В этом случае на сечении фазового пространства име­ ется два различных центра резонанса, находящихся при одном и том же зна­ чении угла ориентации спутника. Такое явление имеет место для Амальтеи [76]. С дальнейшим ростом параметра 0, при некотором его значении (напр.

0 1.37 для = 0.1) альфа-резонанс исчезает, т. е. он становится неустой­ чив в плоской задаче, и остается только бета-резонанс.

Диаграммы устойчивости, представленные на рис. 5–8 работы [76], по­ крывают необходимый диапазон значений эксцентриситета, так что можно сделать вывод, что для практически всех спутников, приведенных в табли­ це 4.1, значения инерционных параметров таковы, что синхронный резонанс устойчив; исключениями являются только уже известный Гиперион, а так­ же два новых кандидата — Прометей и Пандора. Этот вывод можно сделать визуально, по расположению спутника, согласно значениям его инерционных параметров из таблицы 4.1, на диаграмме (рис. 5–8 из [76]) для подходящего значения эксцентриситета. Для проверки этого здесь приводятся диаграм­ мы только для двух этих кандидатур на хаотическое вращение, поскольку остальные спутники (кроме, конечно, Гипериона) оказываются очень далеко от областей неустойчивости. Диаграммы приведены на рис. 4.3 и 4.4. Они были вычислены по нашей просьбе заново А. В. Мельниковым, которому мы приносим свою благодарность, с помощью методики, развитой и описанной в работе [76].

Метод расчета диаграммы следующий. Для начальных условий, соответ­ ствующих центру синхронного резонанса, на сетке значений (/, /) с малым шагом вычисляются мультипликаторы линеаризованных гамильтоно­ вых уравнений движения. Анализ распределения модулей мультипликаторов, построенных для ансамбля траекторий, позволяет отделить орбиты, устой­ чивые по отношению к наклону оси вращения, от неустойчивых. Непосред­ ственно из анализа модальной структуры распределения следует численный критерий отличия модулей мультипликаторов от единицы.

На рис. 4.3 и 4.4 область максимальной (две степени свободы) неустойчи­ вости показана черным; область минимальной (одна степень свободы) неустой­ чивости показана темно-серым. Для наглядности линии постоянного значе­ ния параметра динамической асимметрии (или, эквивалентно, частоты ма­ лых либраций, см. выше) 0 = 3( )/.

Из диаграмм устойчивости (рис. 4.3 и 4.4) очевидно, что и альфа-, и бета­ моды синхронного резонанса неустойчивы или близки к неустойчивым для случая Прометея. В случае Пандоры существует только альфа-мода, и она близка к неустойчивости. Для того, чтобы неустойчивость реализовалась в действительности, необязательно, чтобы спутник лежал точно в зоне неустой­ чивости на диаграмме; простой близости к ней может оказаться достаточно.

На самом деле, как было показано Кейном [28] для спутника на круговой орбите, зоны неустойчивости расширяются в пространстве параметров, если спутник находится не точно в синхронном состоянии, а испытывает либрации вокруг него с ненулевой амплитудой; с ростом амплитуды размер зон неустой­ чивости возрастает. Ясно, что тот же эффект имеет место для спутника на Рис. 4.3. Диаграммы устойчивости синхронного резонанса для эксцентриситета орбиты = 0.002 (Прометей). Вверху: диаграмма для альфа-моды; внизу: диаграмма для бета­ моды. Положение Прометея отмечено крестиком Рис. 4.4. Диаграмма устойчивости альфа-моды синхронного резонанса для эксцентриси­ тета орбиты = 0.004 (Пандора). Положение Пандоры отмечено крестиком эксцентрической орбите: следует ожидать большего размера зон неустойчи­ вости для либрирующего спутника.

Таким образом, помимо вращающегося хаотически Гипериона, только Прометей и Пандора удовлетворяют тесту на неустойчивость синхронного со­ стояния по отношению к наклону оси вращения. Учитывая, что, как установ­ лено в предыдущем разделе, два эти спутника характеризуются достаточно малыми ляпуновскими временами и большими диапазонами изменения уг­ ловой скорости движения в хаотической области фазового пространства, они оказываются основными кандидатами среди всех тел с известными инерцион­ ными и орбитальными параметрами на наблюдаемое хаотическое вращение.

4.5. Приливное замедление Для того, чтобы спутник попал в хаотическую область вблизи состоя­ ния синхронного вращения, его динамические и физические характеристики должны быть таковы, чтобы время его приливного торможения (см. [16, 58]) было достаточно мало — по крайней мере, меньше возраста Солнечной систе­ мы. В данном разделе рассмотрены теоретические оценки времени приливно­ го замедления для Прометея и Пандоры.

Время приливного замедления спутника можно оценить по следующей формуле [16]:

где и — это начальная и конечная угловая скорость спутника, соответ­ ственно, а является абсолютным значением скорости замедления вращения (см. выра­ жения (1) и (11) в [16]). Здесь — радиус спутника (мы полагаем = ()1/3 ), = 2/orb — среднее орбитальное движение, и — плотность и жесткость спутника, соответственно; — безразмерный приливной коэффициент (спе­ цифическая для данного спутника функция диссипации). Следует отметить, что в данном разделе значения не нормированы, а измеряются в обычных единицах обратного времени.

Поскольку эксцентриситеты орбит Прометея и Пандоры очень малы ( = 0.002 и 0.004, соответственно), в выражении (1) работы [16] можно пренебречь множителем, содержащим эксцентриситет, т. е. положить орбиты круговыми. Это хорошее приближение для указанных значений ; см. рис. работы [16].