Куприянов владимир викторович численно-экспериментальное исследование вращательной динамики спутников планет 01.03.01 – астрометрия и небесная механика диссертация на соискание

Оценим despin для двух наборов параметров: 1) = 2/(10 час), = 1 г см3, = 3.5 1010 дин см2 [16] и 2) = 2/(2.3 час), = 2 г см3, = 5 1011 дин см2 [38]. Обоснование данных значений см. в соответствую­ щих работах. Конечное значение принимается равным 2/orb, что соответ­ ствует значению для синхронного резонанса. В более строгих расчетах следо­ вало бы положить равной max для движения в хаотическом слое вблизи сепаратрис синхронного резонанса для плоской задачи (спутник вращается так, что ось его вращения совпадает с осью наибольшего момента инерции и ортогональна плоскости орбиты), поскольку спутник достигает синхронного состояния в процессе приливной эволюции, находясь в состоянии плоского вращения. Это различие, однако, не так существенно, и, в любом случае, его учет только сократил бы соответствующее время приливного замедления.

Для Прометея и Пандоры получаем despin 860 и 1400 лет, соответ­ ственно, если использовать значения параметров, приведенные Пилом [38], и на два порядка меньше в случае данных Добровольскиса [16]. Заметим, что, вероятнее всего, 100 [16].

Таким образом, вычисление времени замедления вращения указанных двух спутников в результате приливной эволюции показывает, что эти време­ на очень малы по сравнению с возрастом Солнечной системы, так что угло­ вые скорости этих спутников действительно должны были достичь значений, лежащих в хаотической области вблизи синхронного состояния.

Следует отметить, что любая оценка времени торможения зависит от некоторых предположений (см. [16, 38]). В частности, предполагается, что первоначально спутник вращался очень быстро. Это правдоподобно, но не всегда и не обязательно соответствует истине. Например, наблюдаемое рас­ пределение скоростей вращения астероидов [39] подтверждает, что некоторое малое тело в Солнечной системе может иметь первоначально низкую ско­ рость вращения с вероятностью, отличной от нуля. Это означает, что обыч­ ные (включая данную) оценки времени торможения могут быть на самом деле лишь верхними границами.

4.6. Выводы к четвертой главе В этой главе был исследован вопрос о наблюдаемости проявлений хао­ са во вращательной динамике спутников планет Солнечной системы. С этой целью была построена и проанализирована база данных инерционных и ор­ битальных параметров спутников. Она включает орбитальную информацию по 127 спутникам; из них для 105 известен размер, а для 34 — также и инер­ ционные параметры и эксцентриситет орбиты.

Для указанных 34 спутников, за исключением Луны, выполнены модель­ ные расчеты траекторий вращательного движения в хаотической компоненте фазового пространства и получены оценки полного диапазона изменения пе­ риода вращения [min, max ] и ляпуновского времени L.

На основании анализа результатов численного интегрирования выделен список спутников, являющихся наиболее вероятными кандидатами для то­ го, чтобы наблюдать их в режиме хаотического вращения. Помимо седьмого спутника Сатурна Гипериона, хаотическое вращение которого было установ­ лено ранее и подтверждено собственными наблюдениями [6, 29, 65], этот спи­ сок включает: спутник Юпитера Адрастею (J15), спутники Сатурна Елену (S12), Атлас (S15), Прометей (S16), Пандору (S17) и спутник Нептуна Протей (N8). Все они характеризуются короткими ляпуновскими временами враща­ тельного движения и большими диапазонами изменения угловой скорости в том случае, если вращение действительно протекает внутри хаотической ком­ поненты фазового пространства; в настоящее время состояние их вращения не известно.

Кроме того, выполнен независимый анализ устойчивости синхронного состояния по отношению к наклону оси вращения, с целью проверить фи­ зическую возможность того, чтобы спутник вращался хаотически. Помимо Гипериона, только Прометей и Пандора, 16-й и 17-й спутники Сатурна, удо­ влетворяют этому критерию. Далее, простое вычисление времен замедления вращения в ходе приливной эволюции показывает, что для указанных спут­ ников эти времена много меньше возраста Солнечной системы, так что их угловая скорость действительно могла достичь хаотической зоны вблизи син­ хронного состояния. Таким образом, эти два спутника оказываются основны­ ми кандидатами для наблюдения их в состоянии хаотического вращения.

В случае, если вращение указанных спутников действительно происхо­ дит в хаотической области фазового пространства, проявления хаоса в их вращательном движении идеально подходят для астрономических наблюде­ ний: ляпуновские времена не превосходят суток (т. е. на два порядка меньше, чем для Гипериона), а относительные величины max /min вариаций угловой скорости огромны: 300 для Прометея и 200 для Пандоры (см. табл. 4.1).

Достаточно любопытно, что хаос уже был предсказан также в орбиталь­ ном движении Прометея и Пандоры [14, 21]. В работе [21] сделана оценка ля­ пуновского времени движения в окрестности орбитального резонанса 121/ средних движений спутников. Оно оказалось достаточно коротким: 3.3 го­ да. Позднее эта оценка была подтверждена в работе [14]. Стоит отметить, что наши выводы о возможном хаотическом вращении обоих спутников не содержат никаких допущений об их орбитальной динамике; тот факт, что хаотически обращающийся спутник может также и вращаться хаотически, выглядит простым совпадением.

Асимметричные спутники составляют большинство среди малых ( 200 км) спутников, и степень асимметричности заметно растет с уменьшением размера [16, 52]. Спутники малого размера составляют абсолютное большин­ ство всех спутников в Солнечной системе; следовательно, имеются серьезные основания для поиска проявлений динамического хаоса в наблюдаемом вра­ щательном движении вновь открываемых малых спутников. Орбиты таких спутников часто также существенно вытянуты (см. справочник Уральской);

это еще больше увеличивает вероятность возникновения доступных для на­ блюдения хаотических состояний вращения.

Основной целью данной главы было найти наиболее вероятные канди­ датуры для обнаружения хаотического вращения в наблюдениях. Однако из результатов проведенных расчетов можно извлечь много дополнительной ин­ формации. Она относится к важной эпохе динамической истории спутника, когда он оказывается захвачен в синхронный резонанс, и траектория враща­ тельного движения находится в хаотическом слое этого резонанса. Конечно, эта информация верна в том случае, если современные значения параметров формы и орбиты спутников близки к тем, какими они были в эпоху захвата;

тем не менее, предварительные качественные выводы можно сделать незави­ симо от этого. Таким образом, в качестве одного из важных побочных резуль­ татов данного исследования было обнаружено, что процесс захвата в синхрон­ ный резонанс может быть существенно различным для крупных и для малых спутников. Спутники большого размера являются также, как правило, почти сферическими и движутся по орбитам, близким к круговым; хаотический слой, ограничивающий синхронный резонанс, следовательно, крайне тонок.

Проведенные численные эксперименты показывают, что в этом случае хаоти­ ческое вращательное движение, первоначально близкое к плоскому, остается практически плоским, т. е. оно устойчиво по отношению к наклону оси вра­ щения. Этот вывод служит важным дополнением известному результату [57], согласно которому спутники неправильной формы должны испытывать хао­ тические кувыркания, прежде чем будут захвачены в состояние синхронного вращения: оказывается, крупные спутники не обязательно испытывают такие же кувыркания на этой стадии своей динамической эволюции.

Таблица 4.1. Инерционные и орбитальные параметры спутников и результаты численного моделирования Тема настоящей диссертационной работы относится к широкому классу задач небесной механики, в которых численное интегрирование уравнений движения модельных систем используется для выявления качественных за­ кономерностей резонансной и хаотической динамики различных групп тел, составляющих Солнечную систему — в данном случае, естественных спутни­ ков планет.

Рассмотрены методы численной и аналитической оценки характеристи­ ческих показателей Ляпунова (ХПЛ) хаотического вращения малых спутни­ ков планет, служащих численным индикатором степени хаотичности движе­ ния. Величина, обратная максимальному ХПЛ (МХПЛ) — ляпуновское вре­ мя — является характерным временем предсказуемости динамики. В прило­ жении к изучению вращательной динамики спутников планет определение этой величины может оказаться полезным для планирования наблюдений кривых блеска спутников, характер вращательной динамики которых хаоти­ ческий либо пока не известен.

Исследование основано на модельной задаче, включающей асимметрич­ ное твердое тело однородной плотности, представленное трехосным эллипсо­ идом с главными центральными моментами инерции, враща­ ющимся вокруг своего центра тяжести и обращающимся по фиксированной круговой или эллиптической орбите. Рассматривается и плоское, и простран­ ственное вращение. В плоском случае ось вращения спутника совпадает с осью наибольшего момента инерции и ортогональна плоскости орбиты, в пространственном случае спутник может вращаться произвольно. Интегри­ рование модельных уравнений движения проводится алгоритмом Хайрера и др. [25], являющегося явным методом Рунге–Кутта 8-го порядка по Дорману и Принсу с управляемой длиной шага. Данный интегратор показал высокую устойчивость в задачах, связанных с хаотическими режимами движения.

В рамках указанной модели для нескольких выборок спутников с из­ вестными из литературы инерционными и орбитальными параметрами, а также на сетке значений модельных параметров вычислялись полные ляпу­ новские спектры хаотического вращения. Использован алгоритм HQRB, со­ стоящий в QR-факторизации матрицы касательного отображения на основе преобразований Хаусхолдера [7]. Алгоритм реализован в виде программного комплекса на языке Фортран–77, предназначенного для вычисления полных спектров ХПЛ произвольных динамических систем с непрерывным време­ нем. Для сравнения использован также более традиционный метод «теневой траектории», позволяющий вычислять только МХПЛ. Значения МХПЛ, по­ лученные обоими методами, находятся в хорошем согласии. При этом метод HQRB позволяет определять полный ляпуновский спектр и является гораздо более точным на больших временах интегрирования.

Большое внимание в работе уделено сопоставлению результатов числен­ ного интегрирования с предсказаниями аналитического метода, основанного на теории сепаратрисных отображений, развитой И. И. Шевченко [84, 86].

Получено подтверждение того, что данный метод дает хорошие результаты в отношении значений МХПЛ в плоской задаче. Дальнейшее исследование посвящено границам применимости метода в случае пространственного вра­ щения.

Показано, что в пространственном случае метод сепаратрисных отобра­ жений применим в случае малых значений динамической асимметрии спут­ ника (/ 0.8) или/и для больших значений эксцентриситета орбиты ( 0.02). В этом случае ведущим является синхронный резонанс, и тео­ рия сепаратрисных отображений, разработанная в применении к движению вблизи сепаратрис этого резонанса, обеспечивает оценки МХПЛ, которые со­ гласуются с результатами численного моделирования. В случае же, наоборот, достаточно сильной динамической асимметрии и малого эксцентриситета ор­ биты роль внешних резонансов с явными зависимостями от времени прене­ брежимо мала по сравнению с внутренними резонансами связи. Для того, чтобы распространить аналитические оценки МХПЛ на этот случай, требу­ ется определить, какой из внутренних резонансов является ведущим.

Получены простые эмпирические зависимости компонент ляпуновского спектра от инерционных (/, /) и орбитальных () параметров задачи.

Пока полная теория еще не разработана, эти зависимости могут оказаться полезными.