Куприянов владимир викторович численно-экспериментальное исследование вращательной динамики спутников планет 01.03.01 – астрометрия и небесная механика диссертация на соискание
Оценим despin для двух наборов параметров: 1) = 2/(10 час), = 1 г см3, = 3.5 1010 дин см2 [16] и 2) = 2/(2.3 час), = 2 г см3, = 5 1011 дин см2 [38]. Обоснование данных значений см. в соответствую щих работах. Конечное значение принимается равным 2/orb, что соответ ствует значению для синхронного резонанса. В более строгих расчетах следо вало бы положить равной max для движения в хаотическом слое вблизи сепаратрис синхронного резонанса для плоской задачи (спутник вращается так, что ось его вращения совпадает с осью наибольшего момента инерции и ортогональна плоскости орбиты), поскольку спутник достигает синхронного состояния в процессе приливной эволюции, находясь в состоянии плоского вращения. Это различие, однако, не так существенно, и, в любом случае, его учет только сократил бы соответствующее время приливного замедления.
Для Прометея и Пандоры получаем despin 860 и 1400 лет, соответ ственно, если использовать значения параметров, приведенные Пилом [38], и на два порядка меньше в случае данных Добровольскиса [16]. Заметим, что, вероятнее всего, 100 [16].
Таким образом, вычисление времени замедления вращения указанных двух спутников в результате приливной эволюции показывает, что эти време на очень малы по сравнению с возрастом Солнечной системы, так что угло вые скорости этих спутников действительно должны были достичь значений, лежащих в хаотической области вблизи синхронного состояния.
Следует отметить, что любая оценка времени торможения зависит от некоторых предположений (см. [16, 38]). В частности, предполагается, что первоначально спутник вращался очень быстро. Это правдоподобно, но не всегда и не обязательно соответствует истине. Например, наблюдаемое рас пределение скоростей вращения астероидов [39] подтверждает, что некоторое малое тело в Солнечной системе может иметь первоначально низкую ско рость вращения с вероятностью, отличной от нуля. Это означает, что обыч ные (включая данную) оценки времени торможения могут быть на самом деле лишь верхними границами.
4.6. Выводы к четвертой главе В этой главе был исследован вопрос о наблюдаемости проявлений хао са во вращательной динамике спутников планет Солнечной системы. С этой целью была построена и проанализирована база данных инерционных и ор битальных параметров спутников. Она включает орбитальную информацию по 127 спутникам; из них для 105 известен размер, а для 34 — также и инер ционные параметры и эксцентриситет орбиты.
Для указанных 34 спутников, за исключением Луны, выполнены модель ные расчеты траекторий вращательного движения в хаотической компоненте фазового пространства и получены оценки полного диапазона изменения пе риода вращения [min, max ] и ляпуновского времени L.
На основании анализа результатов численного интегрирования выделен список спутников, являющихся наиболее вероятными кандидатами для то го, чтобы наблюдать их в режиме хаотического вращения. Помимо седьмого спутника Сатурна Гипериона, хаотическое вращение которого было установ лено ранее и подтверждено собственными наблюдениями [6, 29, 65], этот спи сок включает: спутник Юпитера Адрастею (J15), спутники Сатурна Елену (S12), Атлас (S15), Прометей (S16), Пандору (S17) и спутник Нептуна Протей (N8). Все они характеризуются короткими ляпуновскими временами враща тельного движения и большими диапазонами изменения угловой скорости в том случае, если вращение действительно протекает внутри хаотической ком поненты фазового пространства; в настоящее время состояние их вращения не известно.
Кроме того, выполнен независимый анализ устойчивости синхронного состояния по отношению к наклону оси вращения, с целью проверить фи зическую возможность того, чтобы спутник вращался хаотически. Помимо Гипериона, только Прометей и Пандора, 16-й и 17-й спутники Сатурна, удо влетворяют этому критерию. Далее, простое вычисление времен замедления вращения в ходе приливной эволюции показывает, что для указанных спут ников эти времена много меньше возраста Солнечной системы, так что их угловая скорость действительно могла достичь хаотической зоны вблизи син хронного состояния. Таким образом, эти два спутника оказываются основны ми кандидатами для наблюдения их в состоянии хаотического вращения.
В случае, если вращение указанных спутников действительно происхо дит в хаотической области фазового пространства, проявления хаоса в их вращательном движении идеально подходят для астрономических наблюде ний: ляпуновские времена не превосходят суток (т. е. на два порядка меньше, чем для Гипериона), а относительные величины max /min вариаций угловой скорости огромны: 300 для Прометея и 200 для Пандоры (см. табл. 4.1).
Достаточно любопытно, что хаос уже был предсказан также в орбиталь ном движении Прометея и Пандоры [14, 21]. В работе [21] сделана оценка ля пуновского времени движения в окрестности орбитального резонанса 121/ средних движений спутников. Оно оказалось достаточно коротким: 3.3 го да. Позднее эта оценка была подтверждена в работе [14]. Стоит отметить, что наши выводы о возможном хаотическом вращении обоих спутников не содержат никаких допущений об их орбитальной динамике; тот факт, что хаотически обращающийся спутник может также и вращаться хаотически, выглядит простым совпадением.
Асимметричные спутники составляют большинство среди малых ( 200 км) спутников, и степень асимметричности заметно растет с уменьшением размера [16, 52]. Спутники малого размера составляют абсолютное большин ство всех спутников в Солнечной системе; следовательно, имеются серьезные основания для поиска проявлений динамического хаоса в наблюдаемом вра щательном движении вновь открываемых малых спутников. Орбиты таких спутников часто также существенно вытянуты (см. справочник Уральской);
это еще больше увеличивает вероятность возникновения доступных для на блюдения хаотических состояний вращения.
Основной целью данной главы было найти наиболее вероятные канди датуры для обнаружения хаотического вращения в наблюдениях. Однако из результатов проведенных расчетов можно извлечь много дополнительной ин формации. Она относится к важной эпохе динамической истории спутника, когда он оказывается захвачен в синхронный резонанс, и траектория враща тельного движения находится в хаотическом слое этого резонанса. Конечно, эта информация верна в том случае, если современные значения параметров формы и орбиты спутников близки к тем, какими они были в эпоху захвата;
тем не менее, предварительные качественные выводы можно сделать незави симо от этого. Таким образом, в качестве одного из важных побочных резуль татов данного исследования было обнаружено, что процесс захвата в синхрон ный резонанс может быть существенно различным для крупных и для малых спутников. Спутники большого размера являются также, как правило, почти сферическими и движутся по орбитам, близким к круговым; хаотический слой, ограничивающий синхронный резонанс, следовательно, крайне тонок.
Проведенные численные эксперименты показывают, что в этом случае хаоти ческое вращательное движение, первоначально близкое к плоскому, остается практически плоским, т. е. оно устойчиво по отношению к наклону оси вра щения. Этот вывод служит важным дополнением известному результату [57], согласно которому спутники неправильной формы должны испытывать хао тические кувыркания, прежде чем будут захвачены в состояние синхронного вращения: оказывается, крупные спутники не обязательно испытывают такие же кувыркания на этой стадии своей динамической эволюции.
Таблица 4.1. Инерционные и орбитальные параметры спутников и результаты численного моделирования Тема настоящей диссертационной работы относится к широкому классу задач небесной механики, в которых численное интегрирование уравнений движения модельных систем используется для выявления качественных за кономерностей резонансной и хаотической динамики различных групп тел, составляющих Солнечную систему — в данном случае, естественных спутни ков планет.
Рассмотрены методы численной и аналитической оценки характеристи ческих показателей Ляпунова (ХПЛ) хаотического вращения малых спутни ков планет, служащих численным индикатором степени хаотичности движе ния. Величина, обратная максимальному ХПЛ (МХПЛ) — ляпуновское вре мя — является характерным временем предсказуемости динамики. В прило жении к изучению вращательной динамики спутников планет определение этой величины может оказаться полезным для планирования наблюдений кривых блеска спутников, характер вращательной динамики которых хаоти ческий либо пока не известен.
Исследование основано на модельной задаче, включающей асимметрич ное твердое тело однородной плотности, представленное трехосным эллипсо идом с главными центральными моментами инерции, враща ющимся вокруг своего центра тяжести и обращающимся по фиксированной круговой или эллиптической орбите. Рассматривается и плоское, и простран ственное вращение. В плоском случае ось вращения спутника совпадает с осью наибольшего момента инерции и ортогональна плоскости орбиты, в пространственном случае спутник может вращаться произвольно. Интегри рование модельных уравнений движения проводится алгоритмом Хайрера и др. [25], являющегося явным методом Рунге–Кутта 8-го порядка по Дорману и Принсу с управляемой длиной шага. Данный интегратор показал высокую устойчивость в задачах, связанных с хаотическими режимами движения.
В рамках указанной модели для нескольких выборок спутников с из вестными из литературы инерционными и орбитальными параметрами, а также на сетке значений модельных параметров вычислялись полные ляпу новские спектры хаотического вращения. Использован алгоритм HQRB, со стоящий в QR-факторизации матрицы касательного отображения на основе преобразований Хаусхолдера [7]. Алгоритм реализован в виде программного комплекса на языке Фортран–77, предназначенного для вычисления полных спектров ХПЛ произвольных динамических систем с непрерывным време нем. Для сравнения использован также более традиционный метод «теневой траектории», позволяющий вычислять только МХПЛ. Значения МХПЛ, по лученные обоими методами, находятся в хорошем согласии. При этом метод HQRB позволяет определять полный ляпуновский спектр и является гораздо более точным на больших временах интегрирования.
Большое внимание в работе уделено сопоставлению результатов числен ного интегрирования с предсказаниями аналитического метода, основанного на теории сепаратрисных отображений, развитой И. И. Шевченко [84, 86].
Получено подтверждение того, что данный метод дает хорошие результаты в отношении значений МХПЛ в плоской задаче. Дальнейшее исследование посвящено границам применимости метода в случае пространственного вра щения.
Показано, что в пространственном случае метод сепаратрисных отобра жений применим в случае малых значений динамической асимметрии спут ника (/ 0.8) или/и для больших значений эксцентриситета орбиты ( 0.02). В этом случае ведущим является синхронный резонанс, и тео рия сепаратрисных отображений, разработанная в применении к движению вблизи сепаратрис этого резонанса, обеспечивает оценки МХПЛ, которые со гласуются с результатами численного моделирования. В случае же, наоборот, достаточно сильной динамической асимметрии и малого эксцентриситета ор биты роль внешних резонансов с явными зависимостями от времени прене брежимо мала по сравнению с внутренними резонансами связи. Для того, чтобы распространить аналитические оценки МХПЛ на этот случай, требу ется определить, какой из внутренних резонансов является ведущим.
Получены простые эмпирические зависимости компонент ляпуновского спектра от инерционных (/, /) и орбитальных () параметров задачи.
Пока полная теория еще не разработана, эти зависимости могут оказаться полезными.