Куприянов владимир викторович численно-экспериментальное исследование вращательной динамики спутников планет 01.03.01 – астрометрия и небесная механика диссертация на соискание
Так, «после смерти Джона фон Неймана его бывшие коллеги из Института перспективных исследований в Принстоне на много лет очистили свои здания от компьютеров» [67, с. 127]. Однако общая тенденция была, все же, проти воположной, и компьютеры в эти годы стали прочно входить в практику научных исследований.
В 1966 году Виктор Себехей предпринял попытку исследовать с помо щью компьютера «пифагорейскую» задачу трех тел, в которой тела с масса ми, относящимися как 3:4:5, помещены в вершинах пифагорейского треуголь ника со сторонами, находящимися в том же отношении, имеют первоначаль но нулевые скорости и движутся под действием взаимного ньютоновского притяжения. Эта задача была исследована численными методами и ранее, математиками Мейсселем в конце XIX в. и Бурро в первой четверти XX, однако трудоемкость ручных вычислений не позволила им достичь успеха и сделать какие-либо качественные выводы о динамике такой системы. Себе хей выполнил расчеты первоначально с помощью М. Стендиша на компьюте ре Йельского университета, а затем, в соавторстве со Спинелли и Лекаром, в Нью-Йорке, в Институте космических наук NASA. Одновременно анало гичная работа была проведена Л. Станеком в Цюрихе. Полученный этими исследователями результат оказался крайне неожиданным: через некоторое время два тела из трех образуют устойчивую систему, а третье на огром ной скорости выбрасывается из системы благодаря своего рода «эффекту рогатки». Сейчас этот результат широко известен, подтвержден на многочис ленных примерах и доказан аналитически. Он проливает свет на образова ние двойных звездных систем и позволяет указать источник происхождения «звезд-странников», движущихся в Галактике с огромными скоростями и да же покидающих ее пределы.
В это же время в небесную механику проникли методы статистической физики, рассматривающие статистические ансамбли большого числа частиц.
Характерным примером служат работы Тоомре 70-х годов, в которых мо делируется поведение взаимодействующих галактик как больших ансамблей частиц в ограниченной задаче трех тел. И, наоборот, специалисты в области звездной динамики осознали необходимость обратиться к методам небесной механики и рассмотрению индивидуальных траекторий звезд для разреше ния таких парадоксов, как вычисленное Чандрасекаром время релаксации для звездной системы, превышающее возраст Вселенной — так что звезды не могли бы к настоящему времени достичь наблюдаемого состояния статисти ческого равновесия.
В применении к динамике Солнечной системы один из наиболее мас штабных численных экспериментов был выполнен в 1988 году Зюссманом и Уиздомом, которые использовали специально сконструированный для этого компьютер, названный «Цифровым планетарием», для вычисления орбит пя ти внешних планет на интервале 1/5 возраста Солнечной системы. В ходе этого эксперимента было, в частности, показано, что орбитальное движение Плутона является хаотическим (см. следующий раздел). Примерно тогда же был осуществлен проект LONGSTOP (“LONg-term Gravitational Stability Test of the Outer Planets” — долговременный тест гравитационной устойчивости внешних планет), заключавшийся в численном интегрировании движения пя ти планет на интервале в 100 млн. лет. Кроме ответа на вопрос об устойчи вости Солнечной системы и о ее будущем, такие эксперименты помогают, в частности, уточнить значения частот, амплитуд и фаз для возмущений, что позволяет вывести более точную вековую теорию движения планет. В до полнение к эксперименту LONGSTOP на компьютере Cray 1S Лондонского университета было проведено моделирование движения известных тогда пя ти спутников Урана, позволившее, в частности, уточнить значения масс этих спутников.
В свою очередь, потребности численного эксперимента привели к созда нию новых эффективных вычислительных методов — таких, как симплекти ческие интеграторы, широко используемые сейчас в задачах моделирования динамики гамильтоновых систем.
Рассмотренные выше примеры наглядно указывают на то, как компью терное моделирование позволяет выявить новые, зачастую полностью неожи данные закономерности строения Вселенной и дать жизнь новым направле ниям науки.
1.2. Численный эксперимент и динамический хаос Как отмечалось выше, до середины XX века считалось, что динамиче ские системы являются либо регулярными, либо эргодическими. Развитие теории динамического хаоса, основы которой были заложены еще в работах Пуанкаре, показало, что практически любая нелинейная система может де монстрировать хаотическое поведение, определяющим свойством которого яв ляется непредсказуемость движения, то есть сильнейшая зависимость его от малых изменений начальных условий, несмотря на детерминистский харак тер уравнений движения. В частности, Хенон и Хейлес в 1964 году в чис ленном эксперименте впервые продемонстрировали хаотическое поведение простой неинтегрируемой гамильтоновой системы, названной впоследствии в их честь системой Хенона–Хейлеса. При этом, однако, сохраняются остро ва устойчивого движения, размер которых уменьшается лишь постепенно.
Таким образом, полностью упорядоченные — так же, как и полностью хао тические — системы являются достаточно исключительным случаем в при роде; абсолютное большинство реальных систем в динамической астрономии может характеризоваться обоими указанными типами движения. Так, хаос присутствует даже в движении планет Солнечной системы на определенных этапах ее динамической эволюции.
Окончательно важность роли хаоса в динамике Солнечной системы бы ла осознана в 80-е годы XX века. С этим связано понимание таких явлений, как наличие люков Кирквуда — промежутков в поясе астероидов, в которых практически нет вещества, — и нерегулярное пространственное вращение 7-го спутника Сатурна, Гипериона. Широко известное как «эффект бабочки» — непредсказуемость отдаленных последствий даже самых незначительных воз действий — явление хаоса имеет огромное значение и для эволюции всей Солнечной системы. Принципиально непредсказуемый характер некоторых явлений заставляет, ни в коей мере не умаляя прогностической ценности на учной теории, внести коррективы в интерпретацию ее результатов и связь их с наблюдательными данными — так же, как это произошло с квантовой теорией в 20-х годах прошлого века.
Наряду с аналитическими методами, обеспечивавшими «фундамент» и строгое обоснование теории хаоса, важнейшую роль в ее развитии играли чис ленные методы. Дополняя данные наблюдений, численно-экспериментальные результаты позволяют проверить справедливость качественных оценок раз личных параметров хаотического движения — таких, как, например, характе ристический показатель Ляпунова, обратная к которому величина дает время предсказуемости движения — и определить границы применимости этих оце нок. Например, критическая величина возмущения, при которой происходит скачкообразный переход к крупномасштабному хаосу, определяется, как пра вило, численно. Кроме того, численное моделирование, ставшее с появлением компьютеров полноправным инструментом исследования, позволяет нагляд но проиллюстрировать проявления хаотического поведения и поставляет бо гатый материал для выявления новых динамических закономерностей.
Именно с этим кругом проблем тесно связана тема настоящей диссер тационной работы, посвященной, главным образом, исследованию модельной задачи хаотического вращения естественных спутников планет Солнечной системы. Поскольку полной аналитической теории хаотического вращения спутников в настоящее время еще не существует, численное интегрирование позволяет установить границы применимости существующих качественных моделей и получить оценки, имеющие эвристическую значимость для постро ения новых моделей. Кроме того, по сравнению, например, с орбитальной динамикой планет, спутниковых систем и астероидов, явление хаотического вращения спутников может характеризоваться сравнительно малыми величи нами ляпуновского времени, что существенно облегчает его наблюдательную проверку.
В качестве другой иллюстрации может служить численное моделиро вание возможной динамической эволюции орбиты астероида Хирон, выпол ненное Оикавой и Эверхардтом в 1979 году. Орбита этого астероида сильно вытянута, и перигелий ее лежит внутри орбиты Сатурна, а афелий — вбли зи орбиты Урана. Численные эксперименты показали, что в будущем Хирон испытает несколько тесных сближений с планетами; при этом незначитель ная разница в начальных условиях, в пределах той точности, с которой была известна орбита Хирона, приводит к совершенно различным сценариям его дальнейшей судьбы после сближения с Сатурном — он может как перейти во внутреннюю часть Солнечной системы, в сферу влияния Юпитера, так и полностью покинуть Солнечную систему. Это одно из наиболее наглядных проявлений динамического хаоса. Аналогичная картина имеет место в случае кометы Шумейкер–Леви 9, упавшей на Юпитер в июле 1994 года. Численное моделирование показывает, что первоначально эта комета имела, по-видимо му, довольно обычную орбиту, с малым эксцентриситетом и лежащую внутри орбиты Юпитера, но перешла на орбиту, пересекающуюся с орбитой Юпите ра, примерно в первой половине XX века. Однако определить ее орбитальную эволюцию более точно невозможно — и именно по той причине, что траекто рия кометы является хаотической.
Таким образом, развитие компьютерных методов оказало огромное вли яние на понимание важности хаоса в динамике тел Солнечной системы и ее эволюции.
1.3. Методы компьютерной алгебры в небесной механике и динамической астрономии Несмотря на то, что в данной диссертационной работе непосредствен но не применяются методы, основанные на разложении возмущающей функ ции, нельзя не указать на огромную роль вычислительных систем в развитии этих методов. Как было уже отмечено, аналитические выкладки в небесной механике, связанные с использованием разложений возмущающей функции, крайне длинны и трудоемки. Однако сами по себе они достаточно рутинны, сводятся к набору хорошо формализуемых правил и легко поддаются алго ритмизации. По этой причине представляется вполне естественным поручить эту задачу компьютерным программам. Первые такие программы, обеспечи вающие автоматизацию символьных вычислений, — системы компьютерной алгебры — начали создаваться с 60-х годов XX века. Наиболее известны среди них пакеты MAO, TRIGMAN, CAMAL и некоторые другие. Они предназна чались, как правило, для узкоспециализированных задач. Наиболее замет ным успехом таких систем явилась отмеченная выше проверка теории Луны Делоне. Первые универсальные системы компьютерной алгебры, предназна ченные для работы на персональных компьютерах, — такие, как REDUCE, MACSYMA, Maple, DERIVE, — стали появляться с конца 70-х годов. Однако первоначально их возможностей было недостаточно для серьезного примене ния в небесной механике.
Во второй половине 80-х годов XX века Ласкар предложил комбини рованный подход, сочетающий численное интегрирование с аналитическими разложениями и позволяющий эффективно моделировать движение планет на интервалах времени, сравнимых с возрастом Солнечной системы. В этом подходе алгоритмы компьютерной алгебры используются для вывода усред ненных уравнений (усредняются короткопериодические эффекты, не влияю щие на долговременную эволюцию),4 а интегрирование этих уравнений про водится численно с гораздо бльшим, чем при прямом численном интегри ровании исходных уравнений движения, шагом по времени. Применив такой подход, Ласкар в 1988 году показал, что движение внутренних планет явля ется хаотическим, а характерное время экспоненциальной расходимости тра екторий (то есть характерное время предсказуемости движения) составляет порядка 5 млн. лет. Близкие результаты были получены и в других иссле дованиях, причем было показано, что орбиты всех четырех планет-гигантов (Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна) также являются хаотическими.