Куприянов владимир викторович численно-экспериментальное исследование вращательной динамики спутников планет 01.03.01 – астрометрия и небесная механика диссертация на соискание

Так, «после смерти Джона фон Неймана его бывшие коллеги из Института перспективных исследований в Принстоне на много лет очистили свои здания от компьютеров» [67, с. 127]. Однако общая тенденция была, все же, проти­ воположной, и компьютеры в эти годы стали прочно входить в практику научных исследований.

В 1966 году Виктор Себехей предпринял попытку исследовать с помо­ щью компьютера «пифагорейскую» задачу трех тел, в которой тела с масса­ ми, относящимися как 3:4:5, помещены в вершинах пифагорейского треуголь­ ника со сторонами, находящимися в том же отношении, имеют первоначаль­ но нулевые скорости и движутся под действием взаимного ньютоновского притяжения. Эта задача была исследована численными методами и ранее, математиками Мейсселем в конце XIX в. и Бурро в первой четверти XX, однако трудоемкость ручных вычислений не позволила им достичь успеха и сделать какие-либо качественные выводы о динамике такой системы. Себе­ хей выполнил расчеты первоначально с помощью М. Стендиша на компьюте­ ре Йельского университета, а затем, в соавторстве со Спинелли и Лекаром, в Нью-Йорке, в Институте космических наук NASA. Одновременно анало­ гичная работа была проведена Л. Станеком в Цюрихе. Полученный этими исследователями результат оказался крайне неожиданным: через некоторое время два тела из трех образуют устойчивую систему, а третье на огром­ ной скорости выбрасывается из системы благодаря своего рода «эффекту рогатки». Сейчас этот результат широко известен, подтвержден на многочис­ ленных примерах и доказан аналитически. Он проливает свет на образова­ ние двойных звездных систем и позволяет указать источник происхождения «звезд-странников», движущихся в Галактике с огромными скоростями и да­ же покидающих ее пределы.

В это же время в небесную механику проникли методы статистической физики, рассматривающие статистические ансамбли большого числа частиц.

Характерным примером служат работы Тоомре 70-х годов, в которых мо­ делируется поведение взаимодействующих галактик как больших ансамблей частиц в ограниченной задаче трех тел. И, наоборот, специалисты в области звездной динамики осознали необходимость обратиться к методам небесной механики и рассмотрению индивидуальных траекторий звезд для разреше­ ния таких парадоксов, как вычисленное Чандрасекаром время релаксации для звездной системы, превышающее возраст Вселенной — так что звезды не могли бы к настоящему времени достичь наблюдаемого состояния статисти­ ческого равновесия.

В применении к динамике Солнечной системы один из наиболее мас­ штабных численных экспериментов был выполнен в 1988 году Зюссманом и Уиздомом, которые использовали специально сконструированный для этого компьютер, названный «Цифровым планетарием», для вычисления орбит пя­ ти внешних планет на интервале 1/5 возраста Солнечной системы. В ходе этого эксперимента было, в частности, показано, что орбитальное движение Плутона является хаотическим (см. следующий раздел). Примерно тогда же был осуществлен проект LONGSTOP (“LONg-term Gravitational Stability Test of the Outer Planets” — долговременный тест гравитационной устойчивости внешних планет), заключавшийся в численном интегрировании движения пя­ ти планет на интервале в 100 млн. лет. Кроме ответа на вопрос об устойчи­ вости Солнечной системы и о ее будущем, такие эксперименты помогают, в частности, уточнить значения частот, амплитуд и фаз для возмущений, что позволяет вывести более точную вековую теорию движения планет. В до­ полнение к эксперименту LONGSTOP на компьютере Cray 1S Лондонского университета было проведено моделирование движения известных тогда пя­ ти спутников Урана, позволившее, в частности, уточнить значения масс этих спутников.

В свою очередь, потребности численного эксперимента привели к созда­ нию новых эффективных вычислительных методов — таких, как симплекти­ ческие интеграторы, широко используемые сейчас в задачах моделирования динамики гамильтоновых систем.

Рассмотренные выше примеры наглядно указывают на то, как компью­ терное моделирование позволяет выявить новые, зачастую полностью неожи­ данные закономерности строения Вселенной и дать жизнь новым направле­ ниям науки.

1.2. Численный эксперимент и динамический хаос Как отмечалось выше, до середины XX века считалось, что динамиче­ ские системы являются либо регулярными, либо эргодическими. Развитие теории динамического хаоса, основы которой были заложены еще в работах Пуанкаре, показало, что практически любая нелинейная система может де­ монстрировать хаотическое поведение, определяющим свойством которого яв­ ляется непредсказуемость движения, то есть сильнейшая зависимость его от малых изменений начальных условий, несмотря на детерминистский харак­ тер уравнений движения. В частности, Хенон и Хейлес в 1964 году в чис­ ленном эксперименте впервые продемонстрировали хаотическое поведение простой неинтегрируемой гамильтоновой системы, названной впоследствии в их честь системой Хенона–Хейлеса. При этом, однако, сохраняются остро­ ва устойчивого движения, размер которых уменьшается лишь постепенно.

Таким образом, полностью упорядоченные — так же, как и полностью хао­ тические — системы являются достаточно исключительным случаем в при­ роде; абсолютное большинство реальных систем в динамической астрономии может характеризоваться обоими указанными типами движения. Так, хаос присутствует даже в движении планет Солнечной системы на определенных этапах ее динамической эволюции.

Окончательно важность роли хаоса в динамике Солнечной системы бы­ ла осознана в 80-е годы XX века. С этим связано понимание таких явлений, как наличие люков Кирквуда — промежутков в поясе астероидов, в которых практически нет вещества, — и нерегулярное пространственное вращение 7-го спутника Сатурна, Гипериона. Широко известное как «эффект бабочки» — непредсказуемость отдаленных последствий даже самых незначительных воз­ действий — явление хаоса имеет огромное значение и для эволюции всей Солнечной системы. Принципиально непредсказуемый характер некоторых явлений заставляет, ни в коей мере не умаляя прогностической ценности на­ учной теории, внести коррективы в интерпретацию ее результатов и связь их с наблюдательными данными — так же, как это произошло с квантовой теорией в 20-х годах прошлого века.

Наряду с аналитическими методами, обеспечивавшими «фундамент» и строгое обоснование теории хаоса, важнейшую роль в ее развитии играли чис­ ленные методы. Дополняя данные наблюдений, численно-экспериментальные результаты позволяют проверить справедливость качественных оценок раз­ личных параметров хаотического движения — таких, как, например, характе­ ристический показатель Ляпунова, обратная к которому величина дает время предсказуемости движения — и определить границы применимости этих оце­ нок. Например, критическая величина возмущения, при которой происходит скачкообразный переход к крупномасштабному хаосу, определяется, как пра­ вило, численно. Кроме того, численное моделирование, ставшее с появлением компьютеров полноправным инструментом исследования, позволяет нагляд­ но проиллюстрировать проявления хаотического поведения и поставляет бо­ гатый материал для выявления новых динамических закономерностей.

Именно с этим кругом проблем тесно связана тема настоящей диссер­ тационной работы, посвященной, главным образом, исследованию модельной задачи хаотического вращения естественных спутников планет Солнечной системы. Поскольку полной аналитической теории хаотического вращения спутников в настоящее время еще не существует, численное интегрирование позволяет установить границы применимости существующих качественных моделей и получить оценки, имеющие эвристическую значимость для постро­ ения новых моделей. Кроме того, по сравнению, например, с орбитальной динамикой планет, спутниковых систем и астероидов, явление хаотического вращения спутников может характеризоваться сравнительно малыми величи­ нами ляпуновского времени, что существенно облегчает его наблюдательную проверку.

В качестве другой иллюстрации может служить численное моделиро­ вание возможной динамической эволюции орбиты астероида Хирон, выпол­ ненное Оикавой и Эверхардтом в 1979 году. Орбита этого астероида сильно вытянута, и перигелий ее лежит внутри орбиты Сатурна, а афелий — вбли­ зи орбиты Урана. Численные эксперименты показали, что в будущем Хирон испытает несколько тесных сближений с планетами; при этом незначитель­ ная разница в начальных условиях, в пределах той точности, с которой была известна орбита Хирона, приводит к совершенно различным сценариям его дальнейшей судьбы после сближения с Сатурном — он может как перейти во внутреннюю часть Солнечной системы, в сферу влияния Юпитера, так и полностью покинуть Солнечную систему. Это одно из наиболее наглядных проявлений динамического хаоса. Аналогичная картина имеет место в случае кометы Шумейкер–Леви 9, упавшей на Юпитер в июле 1994 года. Численное моделирование показывает, что первоначально эта комета имела, по-видимо­ му, довольно обычную орбиту, с малым эксцентриситетом и лежащую внутри орбиты Юпитера, но перешла на орбиту, пересекающуюся с орбитой Юпите­ ра, примерно в первой половине XX века. Однако определить ее орбитальную эволюцию более точно невозможно — и именно по той причине, что траекто­ рия кометы является хаотической.

Таким образом, развитие компьютерных методов оказало огромное вли­ яние на понимание важности хаоса в динамике тел Солнечной системы и ее эволюции.

1.3. Методы компьютерной алгебры в небесной механике и динамической астрономии Несмотря на то, что в данной диссертационной работе непосредствен­ но не применяются методы, основанные на разложении возмущающей функ­ ции, нельзя не указать на огромную роль вычислительных систем в развитии этих методов. Как было уже отмечено, аналитические выкладки в небесной механике, связанные с использованием разложений возмущающей функции, крайне длинны и трудоемки. Однако сами по себе они достаточно рутинны, сводятся к набору хорошо формализуемых правил и легко поддаются алго­ ритмизации. По этой причине представляется вполне естественным поручить эту задачу компьютерным программам. Первые такие программы, обеспечи­ вающие автоматизацию символьных вычислений, — системы компьютерной алгебры — начали создаваться с 60-х годов XX века. Наиболее известны среди них пакеты MAO, TRIGMAN, CAMAL и некоторые другие. Они предназна­ чались, как правило, для узкоспециализированных задач. Наиболее замет­ ным успехом таких систем явилась отмеченная выше проверка теории Луны Делоне. Первые универсальные системы компьютерной алгебры, предназна­ ченные для работы на персональных компьютерах, — такие, как REDUCE, MACSYMA, Maple, DERIVE, — стали появляться с конца 70-х годов. Однако первоначально их возможностей было недостаточно для серьезного примене­ ния в небесной механике.

Во второй половине 80-х годов XX века Ласкар предложил комбини­ рованный подход, сочетающий численное интегрирование с аналитическими разложениями и позволяющий эффективно моделировать движение планет на интервалах времени, сравнимых с возрастом Солнечной системы. В этом подходе алгоритмы компьютерной алгебры используются для вывода усред­ ненных уравнений (усредняются короткопериодические эффекты, не влияю­ щие на долговременную эволюцию),4 а интегрирование этих уравнений про­ водится численно с гораздо бльшим, чем при прямом численном интегри­ ровании исходных уравнений движения, шагом по времени. Применив такой подход, Ласкар в 1988 году показал, что движение внутренних планет явля­ ется хаотическим, а характерное время экспоненциальной расходимости тра­ екторий (то есть характерное время предсказуемости движения) составляет порядка 5 млн. лет. Близкие результаты были получены и в других иссле­ дованиях, причем было показано, что орбиты всех четырех планет-гигантов (Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна) также являются хаотическими.