WWW.DIS.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 17 |

Куприянов владимир викторович численно-экспериментальное исследование вращательной динамики спутников планет 01.03.01 – астрометрия и небесная механика диссертация на соискание

-- [ Страница 4 ] --

В настоящее время рост мощности персональных компьютеров и разви­ тие универсальных систем компьютерной алгебры способствуют применению таких систем в широком классе небесномеханических задач. Они используют­ ся, в частности, для расчета эфемерид тел Солнечной системы с учетом возму­ щений от планет и крупных астероидов и релятивистских эффектов. Напри­ Ласкар разработал для вывода усредненных уравнений собственные специализированные проце­ дуры на языке FORTRAN.

мер, точность определения положения Луны достигает при этом нескольких сантиметров. Использование компьютерных средств для символьных вычис­ лений помогает также, например, получить аналитические выражения для разложения в ряд планетной возмущающей функции до высоких порядков, определить нормальную форму различных гамильтоновых систем, решить аналитически обобщенное уравнение Кеплера и некоторые другие уравнения классической небесной механики, разработать эффективные теории движе­ ния искусственных спутников Земли и многое другое.

1.4. Выводы к первой главе Использование компьютерных методов в современной динамике Солнеч­ ной системы связано с двумя основными группами задач. В первой из них чис­ ленное интегрирование уравнений движения реальных или модельных систем используется для выявления качественных закономерностей резонансной и хаотической динамики различных групп тел, составляющих Солнечную си­ стему — планет, их спутников, астероидов, комет, транснептуновых объектов.

Тема настоящей диссертационной работы принадлежит именно к этой груп­ пе задач. Во второй группе компьютеры используются для все более точного предсказания положений небесных тел методами теории возмущений; исполь­ зуемые при этом ряды в настоящее время содержат уже сотни тысяч членов и, разумеется, не выписываются на бумаге, а хранятся в компьютерных фай­ лах.

Поскольку пока не существует аналитического доказательства устойчи­ вости Солнечной системы, большой интерес представляют исследования это­ го вопроса численными методами. Численное интегрирование уравнений, мо­ делирующих Солнечную систему, на больших временных масштабах позво­ лило выявить хаотический характер орбитального движения планет. Одна­ ко, несмотря на это, нет никаких указаний на то, что Солнечная система неустойчива и распадется в будущем: результаты всех проведенных до сих пор численных экспериментов говорят о том, что все планеты (кроме, воз­ можно, Меркурия) сохраняют орбиты, близкие к существующим сейчас, на временах в миллиарды лет. Наличие же хаоса означает ограниченность то­ го срока, на который мы можем предсказать положение планет: например, неточность определения положения Земли величиной в 1 см приведет к невоз­ можности указать ее положение через 200 млн лет.

Помимо «классических» приложений компьютерного моделирования си­ стем частиц в динамике Солнечной системы и в звездной динамике, сейчас оно широко применяется и в «новых» областях астрономии — в таких, напри­ мер, как динамика экзопланетных систем, динамика аккреционных дисков звезд и черных дыр, эволюция крупномасштабной структуры Вселенной.

Таким образом, компьютерные методы прочно вошли в практику ис­ следований во всех областях современной астрономии, изучающих движение космических объектов — и в качестве вспомогательного средства, облегчаю­ щего выполнение трудоемких и рутинных задач, и в качестве полноправного инструмента аналитических и численно-экспериментальных исследований.

Хаотическое вращение спутников планет:

ляпуновские спектры и максимальные характеристические показатели Ляпунова 2.1. Введение Вычисление характеристических показателей Ляпунова (ХПЛ) служит одним из важнейших инструментов изучения хаотического движения, в част­ ности, в небесной механике. ХПЛ характеризуют скорость экспоненциальной расходимости траекторий, близких друг к другу в фазовом пространстве.

Величина, обратная максимальному ХПЛ (МХПЛ), дает время предсказуе­ мости движения. ХПЛ тесно связаны с динамической энтропией [5, 12, 34, 78, 82].

В настоящей главе вычисляются ХПЛ хаотического вращения малых спутников планет. Полагается, что динамически асимметричный спутник дви­ жется по фиксированной эллиптической орбите. Используются имеющиеся данные по инерционным и орбитальным параметрам для выборки спутников Марса, Юпитера, Сатурна и Нептуна. В настоящее время большинство из них, вероятнее всего, вращается регулярно в синхронном спин-орбитальном резонансе. Однако, несмотря на это, начальные значения динамических пе­ ременных всегда выбираются в хаотической области фазового пространства для того, чтобы исследовать хаотический режим вращения, в котором каж­ дый из спутников мог находиться до захвата в синхронный резонанс. Дан­ ное исследование охватывает и случай плоского (ось вращения ортогональна плоскости орбиты), и случай пространственного вращения. Полные ляпунов­ ские спектры вычисляются при помощи HQRB-метода фон Бремена и др. [7].

Для расчета МХПЛ используется также традиционный метод «теневой тра­ ектории» [33].

Для лучшего качественного понимания результатов численного модели­ рования приводится также методика аналитического оценивания МХПЛ в рамках модели нелинейного резонанса как возмущенного нелинейного маят­ ника. Метод, разработанный И. И. Шевченко [84, 86] в теории сепаратрисных отображений, используется для получения аналитических оценок МХПЛ в задаче плоского вращения. Кроме того, исследуется вопрос о применимости данных оценок к случаю пространственного вращения.

2.2. Основные определения и алгоритмы ХПЛ траектории имеет физический смысл средней скорости расходимо­ сти траекторий, близких к данной. Ненулевое значение ХПЛ указывает на хаотический характер движения, в то время как нулевое служит проявлени­ ем регулярного (периодического или квазипериодического) движения.

Рассмотрим две траектории, близкие друг к другу в фазовом простран­ стве. Одну из них назовем ведущей, а другую — теневой. Пусть (0 ) — длина вектора смещения, направленного от ведущей к теневой траектории, в началь­ ный момент 0. ХПЛ определяется следующим соотношением [33]:

Для гамильтоновых систем величина может принимать 2 различных зна­ чений (в зависимости от направления первоначального смещения), где — число степеней свободы; ХПЛ разделяются на пары: для каждого В практических вычислениях всегда получается лишь приближение к значению ХПЛ за конечный промежуток времени. Например, так называе­ мый метод теневой траектории дает оценку ХПЛ по формуле [33] где = /1, обозначает расстояние между ведущей и теневой фазовы­ ми точками на -м шаге итерации, — длина шага, а — число шагов, на котором измеряется расстояние. При вычислении МХПЛ согласно (2.1) необходимо проводить периодическую перенормировку положения теневой фазовой точки по отношению к ведущей так, чтобы расстояние оставалось бы малым.

Заметим, что в практических вычислениях с использованием форму­ лы (2.1) получается оценка только лишь МХПЛ, поскольку начальные дан­ ные теневых траекторий, которые могут породить остальные элементы ляпу­ новского спектра, принадлежат множеству меры нуль [33]. Поэтому началь­ ные данные для теневой траектории можно выбирать произвольным обра­ зом — хотя, конечно, так, чтобы расстояние от ведущей траектории было достаточно малым.

Рассмотрим алгоритм вычисления полного ляпуновского спектра для случая динамической системы с дискретным временем. Для того, чтобы вы­ числить спектр, необходимо знать матрицу касательного отображения (см. [7]).

Пусть есть исходное отображение. Тогда матрица касательного отображения — это (x обозначает положение фазовой точки на -м шаге итерации, а x — со­ ответствующий касательный вектор). Обозначим матричное представление касательного отображения () на -м шаге в стандартном базисе как ().

Тогда приближение для каждого ХПЛ дается выражением где =, = 1,..., 2, а верхнетреугольная матрица () получает­ ся итерациями посредством QR-факторизации произведения () (1) : т. е.

() () = () (1), где ортогональна, и (0) есть единичная матрица.

Истинное значение ХПЛ является пределом (или в случае, ес­ ли вычисляется полный ляпуновский спектр) при. Здесь и далее значения (или ) при больших принимаются в качестве истинных значений (соответственно, ) при численном оценивании ХПЛ. Следует, однако, отметить, что формально эти величины различны. Традиционный численный метод нахождения предельных значений ХПЛ (см. напр. [56]) за­ ключается в следующем: строя зависимость log, определяемого (2.1), от log, мы ищем значение log, при котором эта зависимость «достигает насыщения», т. е. выходит на горизонтальное плато. Значение на этом плато принимается в качестве истинного значения.

2.3. Аналитическое оценивание МХПЛ В настоящее время существует два подхода к аналитической оценке МХПЛ гамильтоновых систем. Первый из них [27, 37] основан, главным об­ разом, на методе аналитической оценки МХПЛ стандартного отображения, разработанном Чириковым [12, 82]. Этот подход можно назвать «методом стандартного отображения». Второй подход [84, 86], который можно назвать «методом сепаратрисного отображения», основывается на гипотезе Чирико­ ва [12, 82] о том, что динамическая энтропия сепаратрисного отображения постоянна в высокочастотном пределе возмущения. Ключевая роль в дан­ ном методе принадлежит средней зависимости динамической энтропии се­ паратрисного отображения от (отношения чистоты возмущения к частоте малых колебаний на резонансе) во всем диапазоне (0 +).

Рассмотрим сначала метод стандартного отображения. В работах Холь­ мана и Мюррея [27, 37] вводится эффективный коэффициент перекрытия резонансов eff = (2/)2 для гамильтониана нелинейного маятника с сим­ метричным периодическим возмущением. Этот коэффициент аналогичен па­ раметру стохастичности стандартного отображения. Хольман и Мюррей получили оценки МХПЛ для случая умеренного перекрытия резонансов, ко­ гда eff порядка единицы, и для случая сильного перекрытия (или, другими словами, в низкочастотном пределе возмущения), когда eff 1. В первом случае, согласно [27], МХПЛ оценивается как 0 (частота малых возму­ щений на резонансе), а во втором — как (частота внешнего возмуще­ ния). В работе [37] оценка для низкочастотного предела немного изменена (константа заменена на логарифмическую зависимость от eff ), и введена единая приближенная формула, дающая интерполяцию между двумя указан­ ными пределами eff (1 eff +) В случае умеренной частоты возмущения eff 1 эта формула дает на по­ рядок величины завышенную оценку МХПЛ, даже в случае стандартного отображения. Причина в том, что вывод ее основывается на процедуре усред­ нения собственных значений касательного отображения по фазовому углу. В случае, когда мера регулярной компоненты сравнительно велика, эта проце­ дура дает ошибочный результат. По этой причине метод стандартного отоб­ ражения не используется в данной диссертационной работе.

Перейдем к рассмотрению метода сепаратрисного отображения. В ра­ ботах Шевченко [84, 86] в рамках теории сепаратрисных отображений был создан метод оценки МХПЛ движения в хаотической области в окрестности сепаратрис возмущенного нелинейного резонанса. Такой резонанс моделиру­ ется следующим гамильтонианом:

где = + 0. Переменная есть резонансная фаза, — сопряженный импульс; — угол фазы возмущения, а 0 — его начальное значение. Величина обозначает постоянную частоту возмущения;,,, — константы.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 17 |
 


Похожие материалы:

« Гожа Марина Львовна НАСЕЛЕНИЕ РАССЕЯННЫХ ЗВЕЗДНЫХ СКОПЛЕНИЙ ГАЛАКТИКИ 01.03.02 – астрофизика и звездная астрономия Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор В.А. Марсаков Ростов-на-Дону – 2014 2 Оглавление Введение………………………………………………………………………………. 5 Глава 1. Неоднородность населения рассеянных звездных скоплений в Галактике…………………………………………………………………………. 20 1.1 ...»

«ЧАЗОВ Вадим Викторович РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЙ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук Специальность 01.03.01. Астрометрия и небесная механика Москва – 2012 Содержание 1 Содержание Предисловие 7 1 Постановка задачи 17 1.1 Стандартные соглашения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.1 Системы отсчёта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.2 ...»

« УДК 524.7;524.72-4 КАЙСИНА Елена Ивановна БАЗОВЫЕ СВОЙСТВА ГАЛАКТИК МЕСТНОГО ОБЪЕМА (01.03.02 - Астрофизика и звездная астрономия) ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук Научный руководитель: доктор физико–математических наук, профессор Караченцев И. Д. Нижний Архыз – 2014 2 Оглавление Введение Общая характеристика работы Актуальность Цели и задачи исследования Научная новизна Научная и практическая ценность работы Основные результаты ...»







 
© 2013 www.dis.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.