WWW.DIS.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 17 |

Куприянов владимир викторович численно-экспериментальное исследование вращательной динамики спутников планет 01.03.01 – астрометрия и небесная механика диссертация на соискание

-- [ Страница 5 ] --

Сепаратрисное отображение в форме Чирикова [12, 33, 81, 82] описыва­ ет движение в окрестности сепаратрис нелинейного резонанса под действием симметричного периодического возмущения. Различные аспекты общей тео­ рии сепаратрисных отображений были рассмотрены в работах [1–3, 44, 45, 54, 64, 80, 85] и многих других. Эта теория имеет ключевое значение для изу­ чения хаотической динамики небесных тел. Построение и анализ сепаратрис­ ных отображений является мощным инструментом современной нелинейной динамики — прежде всего, для изучения хаотического поведения.

В рамках модели возмущенного нелинейного маятника И. И. Шевчен­ ко [43, 85] была разработана процедура приведения сепаратрисного отоб­ ражения на единую поверхность сечения фазового пространства исходной гамильтоновой системы (процедура синхронизации отображения). При по­ мощи этой процедуры было показано [85], что сепаратрисные отображения адекватно описывают фазовые портреты движения около сепаратрис как для высоких, так и для низких частот возмущения. В применении к задачам небес­ ной механики были разработаны общие сепаратрисные отображения, подхо­ дящие к случаям асимметричных возмущений и возмущений, характерных для задач с орбитальными резонансами [44, 45, 84, 86]. В частности, Шевчен­ ко [44, 84, 86] применил теорию сепаратрисных отображений к построению фазовых портретов хаотического движения, к анализу резонансной структу­ ры фазового пространства и к аналитическому оцениванию МХПЛ в зада­ че плоской вращательной динамики асимметричного спутника на эллиптиче­ ской орбите.

В случае симметричного возмущения ( = ) сепаратрисное отображе­ ние имеет два параметра. Первый,, есть отношение, частоты возмущения, к 0 = ()1/2, частоте малых колебаний на резонансе. Второй (параметр возмущения) дается формулой где есть интеграл Мельникова–Арнольда, как определяется в [12, 43, 81, 85].

Для асимметричного возмущения ( = ) имеем два параметра возму­ щения вместо единственного. Две эти величины, + и, являются значениями для прямого и обратного движения модельного маятника, со­ ответственно:

Следуя Шевченко [84, 86], примем зависимость МХПЛ симметричного сепаратрисного отображения от в виде где 0.8 — константа.

Если =, то средний период хаотического вращения (или, что то же самое в приближении движения, близкого к сепаратрисе, средний полупери­ од хаотической либрации) модельного маятника различается для прямого и обратного движений:

МХПЛ в компонентах хаотического слоя, отвечающих прямому и обратному вращениям модельного маятника, на единицу времени исходной гамильтоно­ вой системы есть [84, 86]. Вычисление среднего (среднего по всему слою) представляет со­ бой весьма сложную задачу. В частности, необходимо знать относительные средние времена нахождения системы в трех различных компонентах хаоти­ ческого слоя, отвечающих прямому вращению, обратному вращению и либра­ ции маятника. Эти времена зависят от параметров системы — среди других, от асимметрии возмущения. Поэтому здесь принимается просто в качестве оценки МХПЛ, усредненной по всему хаотическому слою. Такое усреднение является лишь грубым приближением, но вывод более точной формулы потребовал бы гораздо более сложной и строгой теории, основыва­ ющейся на многих численных экспериментах с сепаратрисными отображени­ ями.

исходной гамильтоновой системы. Для задач данной главы этот период есть ни что иное, как период обращения спутника orb. Тогда МХПЛ в расчете на единицу времени (скажем, на сутки, если orb выражен в сутках) есть Имеющая размерность времени величина 1 — это так называемое ляпуновское время. Она характеризует время предсказуемости хаотического движения.

Таким образом, если параметры сепаратрисного отображения известны, формулы (2.10) – (2.14) позволяют получить теоретическую оценку МХПЛ.

2.4. Численные методы определения полных ляпуновских спектров и МХПЛ Для вычисления ХПЛ в данной главе используется два метода. Тра­ диционный метод «теневой траектории» (иначе «двухчастичный» метод) непосредственно следует из определения (2.1); он эффективен и прост в реализации. Однако, как было отмечено выше, он позволяет получить только МХПЛ, но не весь спектр.

Метод теневой траектории может давать ошибочные оценки ХПЛ, ес­ ли начальная теневая траектория выбрана неправильно (см. напр. [50]). А именно, оценки ХПЛ этим методом могут зависеть от величины начального сдвига теневой траектории 0. Если этот сдвиг слишком велик, вектора сме­ щения в фазовом пространстве могут перестать быть аппроксимацией каса­ тельных векторов. С другой стороны, нельзя сделать этот сдвиг произвольно малым из-за определяющего влияния ошибок округления при приближении к машинной точности представления чисел. В обоих случаях ошибки накап­ ливаются в точках ренормировки, что может привести к ошибочным оценкам ХПЛ. Танкреди и др. [50] рекомендуют проверять, нет ли зависимости оце­ нок ХПЛ от 0. Для вычислений, приведенных ниже, был выполнен такой тест, и было найдено, что значение сдвига 0 = 107 удовлетворяет целям данной главы. Как отмечено в [50]), необходимо также правильно выбрать ин­ тервал времени ренормировки. Слишком малое его значение может привести к быстрому накоплению ошибок округления при ренормировке, а слишком большое — к арифметическому переполнению. В описанных ниже экспери­ ментах использовались различные значения шага ренормировки; показано, что во всех случаях подходит величина, равная шагу итерации.

Второй метод вычисления ХПЛ предложен фон Бременом и др. [7]. Он основан на QR-разложении матрицы касательного отображения (2.3) с ис­ пользованием преобразований Хаусхолдера и известен поэтому как метод HQRB (Householder QR-based). Фон Бремен и др. [7] показали, что этот ме­ тод обладает более высокой численной устойчивостью, чем ортогонализация Грама–Шмидта, использованная в методе Бенеттина и др. [5]. Метод HQRB также быстрее других алгоритмов факторизации и менее чувствителен к ве­ личине шага итерации, поскольку не использует ренормировки. В данной и последующих главах все вычисления полных ляпуновских спектров выполне­ ны с помощью программного комплекса HQRB, описанного в Приложении и основанного на методе фон Бремена и др. [7].

В случае, когда матрица касательного отображения () на задана в ана­ литическом виде, существует три возможности для ее вычисления. Во-пер­ вых, можно заменить касательные вектора x в (2.3) малыми векторами смещения: x = x x, где x и x есть ведущая и теневая фазовые точ­ ки, соответственно, на шаге. Тогда обе точки интегрируются независимо, согласно (2.2). Это приводит к x+1 = x+1 x+1. Повторив эту процедуру для 2 линейно независимых векторов x, можно решить уравнение относительно матрицы касательного отображения (). Этот метод требует знания только исходного отображения (2.2). Зависимость результата от на­ чального сдвига теневой траектории здесь не так критична, как в методе Бе­ неттина и др. [5]. Причина в том, что все теневые частицы возвращаются к первоначальным положениям на каждом шаге, поэтому нет накопления оши­ бок округления при ренормировке. Этот алгоритм используется практически для всех вычислений методом теневой траектории в данной главе.

На производительности данного метода, однако, негативно сказывает­ ся необходимость выполнять 2 дополнительных итераций исходного отоб­ ражения на каждом шаге. Существует, однако, еще один путь вычисления матрицы касательного отображения. Он применим, когда отображение (2.2) порождается непосредственно исходной непрерывной динамической системой Тогда матрица касательного отображения может быть приближенно выраже­ на как где x ( ) — матрица Якоби системы при = =, а — единичная матрица. Это приближение, однако, выполняется только для достаточно ма­ лых величин шага итерации. По этой причине данный метод используется в этой главе только с целью тестирования.

Матрицу касательного отображения можно также вычислить непосред­ ственно и с более высокой точностью, хотя и ценой несколько бльших вы­ числительных затрат, путем одновременного интегрирования исходной и ли­ неаризованной систем. Такой подход не требует введения дополнительного малого параметра — смещения 0. Сопоставление его с первым методом будет проведено в следующей главе.

Как один из необходимых этапов исследования точности и надежности численного метода, в ходе подготовки к вычислениям были выполнены те­ сты с целью определить оптимальное значение. Использовались значения = 0.01 · 2, = 0.1 · 2 и = 1. Было показано, что величина ша­ га практически не отражается на результате вычислений; при этом меньшие значения оказываются чуть более предпочтительными.

Еще одним тестом надежности вычисления полного ляпуновского спек­ тра служит контроль суммы всех ХПЛ 2 (). В данной главе = 3, и указанную сумму можно для краткости обозначить как (6). Эта сумма должна равняться нулю (см. раздел 2.2), что позволяет контролировать внут­ реннюю точность метода. На фактическом значении (6) может сказаться как выбор начального сдвига теневой точки или величина шага итерации, так и точность используемого интегратора.

2.5. ХПЛ хаотического вращения спутников планет Значительная часть естественных спутников размером менее 500 кило­ метров имеет явно асимметричную форму (см. напр. таблицы в Ephmrides Astronomiques [17]). В настоящее время львиная доля информации о форме спутников получается по снимкам различных межпланетных космических аппаратов.

Многие известные спутники планет вращаются в синхронном резонансе с их орбитальным движением. На самом деле, плоское вращение (в плос­ кости орбиты) в синхронном резонансе, как следует из теории приливных спин-орбитальных взаимодействий (см. напр. [4, 57]), является естественной конечной стадией долговременной динамической эволюции спутника. На этой стадии ось вращения совпадает с осью наибольшего момента инерции.

Однако когда фазовая траектория в ходе долговременной динамической эволюции сближается с сепаратрисами синхронного резонанса и входит в ха­ отический слой, образованный сепаратрисами, спутник начинает хаотически кувыркаться, поскольку плоское вращение в этой области фазового простран­ ства неустойчиво по отношению к наклону оси вращения [57, 58, 75, 76]. По­ этому спутник вращается хаотически по всем углам Эйлера. Чем больше динамическая асимметрия и эксцентриситет орбиты спутника, тем больше размер области хаотического движения в фазовом пространстве; правда, ро­ ли этих двух параметров совершенно различны.

Как отметил Уиздом [57], для того, чтобы спутник был захвачен в син­ хронный резонанс, прохождение его через область неустойчивости должно быть достаточно быстрым; соответственно, ширина хаотического слоя долж­ на быть достаточно малой. Конечно, движение в центре самог синхронного резонанса должно быть устойчиво по отношению к наклону оси вращения.

В ходе динамической эволюции спутник проходит через различные резонанс­ ные спин-орбитальные состояния и хаотические слои вблизи их сепаратрис.

Оценки МХПЛ в этих слоях могут дать важную информацию о характере динамической эволюции.

До сих пор только для Гипериона, седьмого спутника Сатурна, в на­ блюдениях был установлен хаотический характер вращения [6, 29, 35, 65].

Большинство других спутников, вероятно, находится в регулярном состоя­ нии, близком к синхронному [38]. Однако, в любом случае, захват в синхрон­ ный резонанс не может произойти без прохождения через главный хаотиче­ ский слой, поэтому знание величин МХПЛ в этом слое может иметь большое значение в изучении динамической истории спутников. В зависимости от ее сценария, можно перевычислить аналитические оценки МХПЛ для значений эксцентриситета, соответствующих различным этапам динамической эволю­ ции.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 17 |
 


Похожие материалы:

« Гожа Марина Львовна НАСЕЛЕНИЕ РАССЕЯННЫХ ЗВЕЗДНЫХ СКОПЛЕНИЙ ГАЛАКТИКИ 01.03.02 – астрофизика и звездная астрономия Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор В.А. Марсаков Ростов-на-Дону – 2014 2 Оглавление Введение………………………………………………………………………………. 5 Глава 1. Неоднородность населения рассеянных звездных скоплений в Галактике…………………………………………………………………………. 20 1.1 ...»

«ЧАЗОВ Вадим Викторович РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЙ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук Специальность 01.03.01. Астрометрия и небесная механика Москва – 2012 Содержание 1 Содержание Предисловие 7 1 Постановка задачи 17 1.1 Стандартные соглашения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.1 Системы отсчёта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.2 ...»

« УДК 524.7;524.72-4 КАЙСИНА Елена Ивановна БАЗОВЫЕ СВОЙСТВА ГАЛАКТИК МЕСТНОГО ОБЪЕМА (01.03.02 - Астрофизика и звездная астрономия) ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук Научный руководитель: доктор физико–математических наук, профессор Караченцев И. Д. Нижний Архыз – 2014 2 Оглавление Введение Общая характеристика работы Актуальность Цели и задачи исследования Научная новизна Научная и практическая ценность работы Основные результаты ...»







 
© 2013 www.dis.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.