Куприянов владимир викторович численно-экспериментальное исследование вращательной динамики спутников планет 01.03.01 – астрометрия и небесная механика диссертация на соискание

Для спутников с хаотическим или неизвестным характером вращения теоретические оценки ХПЛ дают информацию, полезную для планирования наблюдений этих спутников. Основным методом для наземных наблюдений является построение и анализ кривых блеска спутников [29, 65]. Величина, обратная МХПЛ (ляпуновское время), дает время предсказуемости хаотиче­ ского вращения. Ясно, что если целью наблюдений является изучение враща­ тельной динамики (возможно, хаотической), характерный интервал между наблюдениями должен быть меньше ляпуновского времени. Это накладыва­ ет важные ограничения на стратегию наблюдений.

В данном разделе рассмотрен хаотический режим вращения 11 избран­ ных спутников. В настоящее время из этих спутников только Гиперион изве­ стен как вращающийся хаотически (с очень большой вероятностью; см. [6, 29, 35, 65]). Для пяти спутников (Елена, Атлас, Прометей, Пандора и Протей) характер вращения неизвестен. Вращение Фобоса, Деймоса, Амальтеи, Эпи­ метея и Януса регулярно, и все они находятся в синхронном резонансе (см.

напр. [38, 57]). Следует отметить, что в рассмотрение включены спутники с из­ вестным регулярным характером вращения, но набор начальных данных для интегрирования для них, тем не менее, выбирается в хаотической области фа­ зового пространства (а именно, вблизи сепаратрис синхронного резонанса).

Иными словами, изучается возможный режим вращения спутника, который осуществлялся бы, если бы спутник не был захвачен в синхронный резонанс.

Полный набор спутников рассматривается для того, чтобы получить по воз­ можности более статистически значимый результат для сравнения с теорией и сопоставления различных динамических случаев. Кроме того, спутники, находящиеся в настоящее время в состоянии регулярного вращения, должны были оказаться в хаотическом состоянии на некоторой стадии их динами­ ческой эволюции, до их захвата в синхронный резонанс. Прохождение че­ рез хаотическую область вблизи сепаратрис синхронного резонанса в ходе приливной эволюции неизбежно. Эксцентриситеты орбит спутников, правда, могли во время этого прохождения иметь другие значения — но, поскольку невозможно судить об их значениях в то время, принимаются современные величины.

Истинные значения ХПЛ хаотического вращения могут отличаться от того, что мы ожидаем, еще по одной причине. Спутники предполагаются дви­ жущимися по невозмущенным эллиптическим орбитам. Хорошо известно, од­ нако, что в реальности элементы их орбит испытывают возмущения, вызван­ ные сплюснутостью центральной планеты и/или наличием других массивных спутников. Например, в случае Гипериона эксцентриситет орбиты колеблет­ ся от 0.08 до 0.12 с периодом в 18.8 лет [6] благодаря возмущениям от Титана. В приводимых ниже расчетах ляпуновские времена в большинстве случаев составляют порядка нескольких дней. Это гораздо меньше харак­ терных периодов сильных долгопериодических возмущений. Следовательно, принимать во внимание такие возмущения представляется излишним.

2.5.1. Случай плоского вращения Рассмотрим движение асимметричного твердого тела («спутника») во­ круг его центра тяжести, который обращается по невозмущенной эллипти­ ческой орбите вокруг «планеты» (неподвижной массивной точки). Предпо­ лагается, что размеры спутника много меньше радиуса его орбиты, а масса пренебрежимо мала по сравнению с массой планеты. Главные моменты инер­ ции спутника по отношению к его осям инерции,1, обозначим как,,, соответственно. Оси выбираются таким образом, что.

В данном разделе сравниваются численные и теоретические оценки МХПЛ в задаче плоского хаотического вращения спутника, движущегося по фикси­ рованной эллиптической орбите. Ось вращения спутника полагается совпада­ ющей с осью его наибольшего момента инерции; он ортогональна плоскости орбиты. Вращательное движение описывается уравнением Белецкого [61] для плоских либраций и вращения спутника на эллиптической орбите. В случае малых эксцентриситетов уравнения движения даются гамильтонианом (2.6), получаемым в пренебрежении всеми степенями эксцентриситета выше первой (см. напр. [11, 58]). Согласно Шевченко [84, 86], для парадигмы маятника име­ ции спутника; — эксцентриситет орбиты. Здесь и далее время измеряется в единицах периода обращения.

Отображение (2.2) порождается уравнениями движения. Используется интегратор Хайрера и др. [25]. Это явный метод Рунге–Кутта 8-го порядка согласно Дорману и Принсу (см. [25]) с управляемой длиной шага. Интегри­ рование проводилось на временнм интервале [0, 105 ]. Такого времени ока­ залось достаточно для достижения насыщения (выход на плато) зависимости от. Начальные условия для интегрирования были выбраны в хаотической области фазового пространства.

На рис. 2.1 показаны численные оценки МХПЛ для = 0.1, что являет­ Обозначение обычно используется также в качестве большой полуоси орбиты спутника. Однако в модельных расчетах, проводимых в настоящей диссертационной работе, принята система единиц, в которой значение большой полуоси орбиты = 1, а то, какая из этих двух величин имеется в виду, всегда ясно из контекста.

ся средним эксцентриситетом орбиты Гипериона (см. напр. [58]). Параметр динамической асимметрии 0 меняется в диапазоне 0.2 0 1. Для срав­ нения с данными численного моделирования приводится соответствующая теоретическая кривая согласно (2.10–2.13).

Сравним теперь численные оценки МХПЛ с теоретическими для 11 ука­ занных выше спутников. Сравнение приведено в табл. 2.1. Значения инерци­ онных параметров /, / (или геометрические размеры, и ; тогда /, / вычисляются согласно модели эллипсоида однородной плотности) и эксцентриситеты орбит взяты из работ [48] (Фобос), [57] (Деймос, Амальтея, Янус и Эпиметей), [53] (Гиперион), [49] (Елена), [9] (Атлас), [22] (Прометей и Пандора), [17] (Протей). Значения /, / (необходимые для моделирова­ ния пространственного вращения и представленные ниже в табл. 2.3) дают В графическом виде сопоставление результатов численного моделиро­ вания и теоретических оценок МХПЛ для данной выборки спутников пред­ ставлено на рис. 2.2. Теоретические оценки МХПЛ вычисляются на основе теории сепаратрисных отображений И. И. Шевченко [84, 86] (см. раздел 2.3).

Численные оценки являются средними от текущих значений ХПЛ по интер­ валу [5 · 104, 105 ], соответствующему плато насыщения. Для расчетов, результаты которых представлены в табл. 2.1, использованы два значения. В обоих случаях наблюдается практически одинаково хорошее согласие с теорией. Для графического представления использованы результаты, полу­ ченные с = 0.01 · 2.

Рис. 2.1 и 2.2 оба наглядно показывают, что численные оценки находятся в хорошем согласии с теорией в случае плоского вращения.

В табл. 2.2 представлены результаты вычисления полных ляпуновских спектров плоского вращения методом HQRB. Следует отметить, что «вир­ туальные» теневые траектории в методе HQRB не ограничены плоскостью Таблица 2.1. Случай плоского вращения. Инерционный параметр, эксцентриситет орбиты и численные оценки МХПЛ методом теневой траектории Рис. 2.1. Сравнение численных (кружки) и теоретических (кривая) оценок МХПЛ для случая эксцентриситета орбиты Гипериона Рис. 2.2. Сравнение численных (кружки) и теоретических (квадраты) оценок МХПЛ для 11 спутников орбиты. Следовательно. (2) и (3) не обязательно равны нулю. Вместо урав­ нений движения, определяемых гамильтонианом (2.6), здесь использованы уравнения Эйлера (см. раздел 2.5.2). Как определено выше, длина шага ите­ рации = 0.01 · 2, а начальное смещение теневой частицы 0 = 107.

Аналогично тому, что было использовано ранее, ХПЛ усредняются по интер­ валу времени [5 · 104, 105 ]. Здесь представлены средние от положительных ХПЛ и модулей соответствующих им отрицательных, т. е. под () понимает­ ся 2 (() + |(+ ) |). Сумма (6), вычислявшаяся для контроля внутренней согласованности метода HQRB, оказалась равной нулю для всех спутников с точностью до 6-го знака после запятой.

Для того, чтобы наглядно показать достижение насыщения при вычис­ лении ХПЛ, на рис. 2.3 приводится зависимость мгновенных оценок ХПЛ от времени для случая Гипериона.

Как можно видеть, сравнив табл. 2.1 и 2.2, значения МХПЛ, полученные методом теневой траектории, и значения (1), вычисленные методом HQRB, согласуются.

Рис. 2.3. Мгновенное значение МХПЛ (полученное методом теневой траектории; пунктир­ ная линия) и мгновенные значения компонент ляпуновского спектра (полученные методом HQRB; сплошные линии) для Гипериона в зависимости от времени; плоский случай Таблица 2.2. Случай плоского вращения. Численные оценки компонент ляпуновского спек­ тра методом HQRB 2.5.2. Случай пространственного вращения Определим систему координат,, с началом в перицентре орбиты спутника следующим образом: ось направлена по прямой «перицентр – пла­ нета», ось параллельна вектору орбитальной скорости, ось ортогональна плоскости орбиты и дополняет систему до правой. Ориентация спутника в этой системе определяется последовательностью воображаемых поворотов на углы Эйлера,, из исходного положения до тех пор, пока спутник не ока­ жется в своем истинном положении. В исходном положении оси инерции,, направлены по осям,,, соответственно. Последовательность вообра­ жаемых поворотов, принятая в данной диссертационной работе, следующая:

во-первых, осуществляется поворот на угол вокруг оси, затем — на угол вокруг оси и, окончательно, на угол вокруг оси. Эти повороты наглядно представлены на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Определение углов Эйлера в инерциальной системе отсчета Такое определение углов Эйлера идентично используемому Уиздомом и др. в [58] и отличается от обычного. Причина в том, что стандартная систе­ ма обладает координатной сингулярностью в точке, где ось спутника (ось наибольшего момента инерции) ортогональна плоскости орбиты. В принятой здесь системе это положение отвечает условию = 0, а сингулярность сме­ щена в точки = ±/2. Последнее значение отвечает ситуации, когда ось вращения спутника лежит в плоскости орбиты. Используемая здесь система связана со стандартной, [0, 2), [0, ] соотношениями Примем систему единиц = = = = 1, где — постоянная всемирного тяготения, — масса планеты, — большая полуось орбиты спутника, а — среднее движение. Тогда время измеряется в единицах периода обращения — так же, как в разделе 2.5.1. Вектор угловой скорости спутника, вращающегося в поле тяготения планеты, определяется дина­ мическими уравнениями Эйлера (см. напр. [58, 61]), которые в выбранных единицах приводятся к виду где — расстояние «спутник – планета»;,, — компоненты вектора угловой скорости в системе,, ;,, — направляющие косинусы глав­ ных осей инерции по отношению к направлению на планету. Согласно [58], в принятой нами системе координат выражения для направляющих косинусов следующие:

Следует отметить, что выражения для моментов сил тяготения (правые части уравнений (2.19)) верны в предположении, что размеры спутника малы по сравнению с, а его масса = 1.

Кинематические уравнения Эйлера в той же системе координат, соглас­ но [58], сводятся к Расстояние между спутником и планетой равно где — эксцентриситет орбиты; эксцентрическая аномалия получается ре­ шением уравнения Кеплера где — время. Истинная аномалия для подстановки в уравнения (2.20) выражается соотношением Уравнения Эйлера (2.19, 2.21) и уравнения орбитального движения (2.22, 2.23, 2.24) совместно образуют замкнутую систему, определяющую враща­ тельное движение спутника. Совместное интегрирование этой системы поз­ воляет определить эволюцию ориентации спутника, т. е. углы,, как функции времени.

Численные оценки ХПЛ в данном разделе получаются интегрированием указанной системы уравнений при следующих начальных условиях: |=0 = 1.5, |=0 = 0.001, |=0 = 0.001, |=0 = 1, |=0 = 0, |=0 = 0. Для того, чтобы вывести движение из плоскости орбиты, к начальным значениям |= и |=0 добавляется малое смещение. Эксцентриситет спутника и отношения /, / его моментов инерции являются параметрам задачи.