WWW.DIS.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 17 |

Куприянов владимир викторович численно-экспериментальное исследование вращательной динамики спутников планет 01.03.01 – астрометрия и небесная механика диссертация на соискание

-- [ Страница 7 ] --

Мы используем и метод теневой траектории, и метод HQRB. Интегратор и величина шага итерации те же самые, что и в плоском случае. В простран­ ственном случае, однако, требуется большее число итераций, поскольку то­ пология хаотических областей фазового пространства в этом случае гораздо сложнее, и поэтому требуется гораздо большее время, чтобы () достиг насы­ щения. Необходимо проводить усреднение на бльших временных масштабах, чтобы получить истинную оценку ХПЛ. С другой стороны, сумма (6), слу­ жащая индикатором накопления ошибок, растет при этом быстрее. Согласно нашему опыту, зависимость достигает насыщения после = 5 · 105 для всех спутников. Поэтому результирующие оценки ХПЛ усредняются на интервале [5 · 105, 106 ].

В табл. 2.3 представлены оценки МХПЛ пространственного вращения Таблица 2.3. Случай пространственного вращения. Инерционные параметры, эксцентри­ ситет орбиты и численные оценки МХПЛ методом теневой траектории для указанных в разделе 2.5.1 11 спутников, полученные численным модели­ рованием методом теневой траектории.

В табл. 2.4 представлены результаты вычисления полного ляпуновского спектра для случая пространственного вращения. Параметры интегрирова­ ния те же, что в разделе 2.5.1. Последний столбец содержит значения суммы (6) (индикатора накопления ошибок) на последнем шаге итерации.

Отметим, что вклады отдельных парных сумм () + (+ ) ( = 1,..., 3) в полную сумму (6) оказались одного порядка, так что внутреннюю ошибку каждого можно приблизительно принять равной /3.

Точно так же, как в разделе 2.5.1, здесь приведены зависимости мгно­ венных оценок ХПЛ от времени для Гипериона (рис. 2.5). На рис. 2.6 показан график зависимости суммы (6) от времени; можно видеть то, как ошибки Таблица 2.4. Случай пространственного вращения. Численные оценки компонент ляпунов­ ского спектра методом HQRB и сумма всех ХПЛ Рис. 2.5. Мгновенное значение МХПЛ (полученное методом теневой траектории; пунктир­ ная линия) и мгновенные значения компонент ляпуновского спектра (полученные методом HQRB; сплошные линии) для Гипериона в зависимости от времени; пространственный случай накапливаются на больших временах интегрирования.

Полученный здесь спектр ХПЛ для Гипериона можно сравнить с резуль­ татами Уиздома и др. [58], хотя нами использованы немного другие исходные данные для расчета моментов инерции этого спутника [53]. На рис. 9 рабо­ ты [58] показана полученная авторами зависимость текущих значений ХПЛ от времени интегрирования для случая пространственного вращения Гипери­ она. Из этого рисунка можно заключить, что имеется близкое соответствие результатам нашего численного моделирования, хотя детали графиков, ко­ нечно, различаются — главным образом, из-за различного времени интегри­ рования.

2.6. Сравнение случаев плоского и пространственного Сравним сначала результаты вычислений МХПЛ методом теневой тра­ ектории и методом HQRB.

Рис. 2.6. Сумма всех ХПЛ для Гипериона в зависимости от времени; пространственный случай На рис. 2.7 приведен график зависимости оценки (1), полученной ме­ тодом HQRB, от оценки МХПЛ, полученной методом теневой траектории, для выбранных нами 11 спутников в случае плоского вращения. Значения (1) взяты из табл. 2.2, а значения — из табл. 2.1. «Усы» у каждой точки (на этом и всех последующих графиках) отражают максимальные отклоне­ ния мгновенных значений ХПЛ на плато от среднего значения по интервалу усреднения ( [5 · 104, 105 ] для плоского случая и [5 · 105, 106 ] — для пространственного).

Прямая, проведенная на рисунке, является линейной аппроксимацией (1) = · + ). Можно сделать заключение о хорошем согласии резуль­ татов, полученных обоими методами: наклон прямой () равен 0.99 ± 0.07, а сдвиг () равен 0.002 ± 0.004. Интервалы ошибок параметров приводятся для доверительного уровня 95%.

На рис. 2.8 показан аналогичный график для случая пространственного вращения. Значения (1) взяты из табл. 2.4, а — из табл. 2.3. Наклон ап­ проксимирующей прямой составляет 0.75 ± 0.11, а сдвиг — 0.02 ± 0.01. Видно, что статистическое согласие в пространственном случае хуже, чем в плоском.

Этого и следовало ожидать, так как топология хаотического движения здесь Рис. 2.7. МХПЛ, вычисленные двумя различными методами; 11 спутников; плоский слу­ чай гораздо сложнее, и простой метод теневой траектории оказывается, очевидно, менее надежным.

По сравнению с плоским случаем, получение корректных оценок ХПЛ теперь требует гораздо большего времени интегрирования. Траектория в про­ странственном случае много сложнее, она проходит через разнообразные об­ ласти фазового пространства с различными локальными значениями ХПЛ.

В обоих методах полное время интегрирования ограничено накоплением оши­ бок. Если в случае метода теневой траектории оно вызвано ренормировками, то в методе HQRB его определяет отличие точной матрицы касательного отображения и ее численной аппроксимации по формуле (2.15) или (2.17).

Обратимся теперь к важному вопросу о том, может ли описанная выше и, очевидно, верная в плоском случае теория аналитической оценки МХПЛ быть применена также и к пространственному случаю. На этот вопрос помога­ ет ответить график сравнения МХПЛ 1 для двух этих случаев, приведенный на рис. 2.9. Легко видеть, что какая-либо корреляция отсутствует.

Интересно отметить, что для 2 и 3 глобальная корреляция между плоским и пространственным случаем, по-видимому, существует (см. рис. 2.10, 2.11), хотя зависимости и нелинейны.

Рис. 2.8. МХПЛ, вычисленные двумя различными методами; 11 спутников; пространствен­ ный случай Что же касается МХПЛ — для большинства спутников, очевидно, эксцен­ триситет орбиты и, тем самым, синхронный резонанс не играют какой-либо значительной роли в пространственной динамике; крупномасштабный хаос порождается в этом случае взаимодействием резонансов связи, уже присут­ ствующих в круговой задаче. Имеется, однако, диапазон значений орбиталь­ ных и инерционных параметров, в котором теория для плоского случая все же остается применимой и в пространственном. Этот диапазон соответствует ситуации, когда спин-орбитальные резонансы относительно важны по срав­ нению со внутренними резонансами связи. Интуитивно понятно, что такая ситуация может сложиться двумя различными путями. Во-первых, спутник может быть почти динамически симметричен — тогда взаимодействие внут­ ренних резонансов связи подавляется. Во-вторых, спутник может находить­ ся на достаточно вытянутой орбите (отметим, однако, что эксцентриситет не должен быть слишком большим — скажем, 0.1 — поскольку иначе нарушается приближение для гамильтониана, использованного при выводе аналитических оценок ХПЛ) — тогда спин-орбитальные резонансы усилива­ ются. Оба механизма могут также работать одновременно.

Анализ таблиц 2.1–2.4 подтверждает эти интуитивные соображения. Возь­ мем два спутника из нашего набора с наибольшими значениями /. Это Протей и Елена. Далее возьмем два спутника с наибольшими значениями. Это Гиперион и Фобос. Видим, что для этих четырех спутников согласие МХПЛ в плоском и пространственном случае наилучшее среди всех других, для остальных семи ситуация гораздо хуже. Единственное возможное исклю­ чение — это случай Эпиметея, у которого наблюдается некоторое согласие;

это, однако, может быть просто совпадением.

Сопоставляя значения параметров спутников в нашей выборке, можно очень приблизительно определить границы применимости теории как 0.02 и / 0.8. Если характеристики спутника лежат вне этого диапазо­ на, внешние резонансы с явной зависимостью от времени не играют большой роли во вращательной динамике; поскольку спутник существенно асиммет­ ричен, важнее всего взаимодействие резонансов связи, проявляющихся уже в круговой задаче. Соответствующая гамильтонова система тогда близка к автономной. Для того, чтобы вывести аналитические оценки МХПЛ и в этом случае, требуется выяснить, какой из внутренних резонансов связи является ведущим (определение ведущего резонанса см. в [12]). Другой способ добить­ ся успеха в получении теоретических оценок — это исследовать зависимость МХПЛ от константы Якоби системы в антиинтегрируемом пределе. Такое исследование проводится далее в главе 3.

Рассмотрим теперь статистические соотношения между компонентами ляпуновского спектра по данным таблиц 2.2 и 2.4. Соответствующие зави­ симости показаны на рис. 2.12 и 2.13. На этих рисунках квадраты обозна­ чают оценки (2) в зависимости от (1), а треугольники — (3) от (1). Как можно видеть из рис. 2.12 и 2.13, значения компонент приблизительно про­ порциональны друг другу. Пропорциональность наблюдается и в плоском, и в пространственном случае. Средние по всем спутникам отношения компо­ нент ляпуновского спектра в плоском случае (1) /(2) 1.8, (1) /(3) L (spatial) Рис. 2.9. 1 ; плоский и пространственный случай L (spatial) Рис. 2.10. 2 ; плоский и пространственный случай L (spatial) Рис. 2.11. 3 ; плоский и пространственный случай Рис. 2.12. Отношения компонент ляпуновского спектра; плоский случай Рис. 2.13. Отношения компонент ляпуновского спектра; пространственный случай и (2) /(3) 13. Доверительные интервалы для 95% составляют [1.53, 2.06], [9.68, 38.4] и [6.74, 19.2], соответственно. Средние отношения ХПЛ в простран­ ственном случае (1) /(2) 3.7, (1) /(3) 22 и (2) /(3) 5.4, 95%-ные до­ верительные интервалы для них составляют [2.31, 5.18], [8.61, 35.3] и [4.56, 6.15], соответственно.

В заключение приведем результаты регрессионного анализа для компо­ нент ляпуновского спектра 1, 2, 3 в зависимости от инерционных парамет­ ров /, / и 0. Эти отношения могут оказаться полезными до тех пор, пока не будет полностью построена теория для аналитического оценивания ХПЛ в данной задаче. Коэффициенты линейной аппроксимации даются вме­ сте с их 95% доверительными интервалами; — коэффициент корреляции.

2 = (0.177 ± 0.027) + (0.081 ± 0.018), = 0.91, 2 = (0.142 ± 0.178) + (0.156 ± 0.159), = 0.52, 1 = (0.065 ± 0.091)0 + (0.044 ± 0.073), = 0.48, 2 = (0.039 ± 0.021)0 + (0.000 ± 0.017), = 0.82, Наилучшие корреляции наблюдаются для /. Это можно понять в свете того, что моменты инерции определены таким образом, что ; по­ этому / характеризует максимальную асимметрию. Корреляция для / гораздо хуже. Зависимости для 0 важнее всего в плоском случае. Поскольку 0 зависит и от /, и от /, корреляция носит промежуточный характер между зависимостями для / и для /. Отметим, что в случаях / и 0 корреляция лучше для компонент спектра более высокого порядка. И снова это вполне объяснимо: для некоторых спутников значима роль эксцен­ триситета, и это сказывается, главным образом, на МХПЛ.

2.7. Выводы ко второй главе В данной главе были рассмотрены методы численной и аналитической оценки ХПЛ хаотического вращения малых спутников планет. Величина, обратная МХПЛ (ляпуновское время), составляет характерное время пред­ сказуемости динамики. В приложении к изучению вращательной динамики спутников планет определение этой величины может оказаться полезным для планирования наблюдений кривых блеска спутников, характер вращательной динамики которых хаотический либо пока не известен.

Использованная модель включает асимметричное (трехосное) твердое тело, вращающееся вокруг своего центра тяжести и обращающееся по фик­ сированной эллиптической орбите. Рассматривается и плоское, и простран­ ственное вращение. В плоском случае ось вращения спутника совпадает с осью наибольшего момента инерции и ортогональна плоскости орбиты. В про­ странственном случае спутник может вращаться произвольно.



Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 17 |
 


Похожие материалы:

« Гожа Марина Львовна НАСЕЛЕНИЕ РАССЕЯННЫХ ЗВЕЗДНЫХ СКОПЛЕНИЙ ГАЛАКТИКИ 01.03.02 – астрофизика и звездная астрономия Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор В.А. Марсаков Ростов-на-Дону – 2014 2 Оглавление Введение………………………………………………………………………………. 5 Глава 1. Неоднородность населения рассеянных звездных скоплений в Галактике…………………………………………………………………………. 20 1.1 ...»

«ЧАЗОВ Вадим Викторович РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЙ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук Специальность 01.03.01. Астрометрия и небесная механика Москва – 2012 Содержание 1 Содержание Предисловие 7 1 Постановка задачи 17 1.1 Стандартные соглашения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.1 Системы отсчёта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.2 ...»

« УДК 524.7;524.72-4 КАЙСИНА Елена Ивановна БАЗОВЫЕ СВОЙСТВА ГАЛАКТИК МЕСТНОГО ОБЪЕМА (01.03.02 - Астрофизика и звездная астрономия) ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук Научный руководитель: доктор физико–математических наук, профессор Караченцев И. Д. Нижний Архыз – 2014 2 Оглавление Введение Общая характеристика работы Актуальность Цели и задачи исследования Научная новизна Научная и практическая ценность работы Основные результаты ...»







 
© 2013 www.dis.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.