WWW.DIS.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 17 |

Куприянов владимир викторович численно-экспериментальное исследование вращательной динамики спутников планет 01.03.01 – астрометрия и небесная механика диссертация на соискание

-- [ Страница 8 ] --

В рамках данной модели для 11 избранных спутников с известными из наблюдений инерционными и орбитальными параметрами вычислены полные ляпуновские спектры хаотического движения. Использован алгоритм, осно­ ванный на QR-факторизации матрицы касательного отображения [7]. Для сравнения использован также более традиционный метод «теневой траекто­ рии», позволяющий вычислить только МХПЛ. Значения МХПЛ, полученные обоими методами, находятся в хорошем согласии.

Можно ли для рассматриваемой задачи предсказать значения ХПЛ ана­ литически? Для того, чтобы исследовать этот вопрос, было рассмотрено при­ ложение аналитического метода, основанного на теории сепаратрисных отоб­ ражений [84, 86]. Приведены дальнейшие свидетельства того, что данный ме­ тод дает хорошие результаты в том, что касается значений МХПЛ в плоской задаче; это иллюстрируют рис. 2.1 и 2.2).

Однако метод аналитической оценки компонент ляпуновского спектра в пространственной задаче во всем диапазоне значений инерционных и ор­ битальных параметров по-прежнему остается предметом для дальнейших ис­ следований. В настоящее время можно аналитически предсказать только зна­ чения МХПЛ в некоторых интервалах этих параметров. Показано, что метод Шевченко [84, 86] применим для наименьших (среди рассмотренных нами) значений динамической асимметрии или/и наибольших эксцентриситетов ор­ биты. В этом случае ведущим является синхронный резонанс, и теория се­ паратрисных отображений, разработанная в применении к движению вблизи сепаратрис этого резонанса, обеспечивает оценки МХПЛ, которые согласуют­ ся с результатами численного моделирования.

Обратная ситуация потребует другого подхода. В случае достаточно сильной динамической асимметрии и малого эксцентриситета орбиты роль внешних резонансов с явными зависимостями от времени пренебрежимо ма­ ла по сравнению с внутренними резонансами связи. Для того, чтобы распро­ странить аналитические оценки МХПЛ на этот случай, требуется определить, какой из внутренних резонансов является ведущим.

Получены также простые эмпирические зависимости компонент ляпу­ новского спектра от параметров задачи. Пока полная теория еще не разрабо­ тана, эти зависимости могут оказаться полезными.

Хаотическое вращение спутников планет:

ляпуновские спектры и константа Якоби 3.1. Введение Даже в простейшем реалистичном случае спутника — трехосного твердо­ го тела на фиксированной эллиптической орбите — вращательная динамика спутника служит источником множества интересных динамических явлений, как регулярных, так и хаотических [57, 58, 75]. Пример регулярного движе­ ния дает синхронный резонанс, в котором находятся многие спутники. Су­ ществует два основных типа синхронного резонанса — - и -резонансы [76].

Редким режимом движения в синхронном резонансе является состояние би­ фуркации [73, 74]. Все это — регулярные типы движения; хаотическое по­ ведение проявляется в окрестностях сепаратрис резонансов. В реальности наблюдаются и регулярные, и хаотические режимы вращения — прежде все­ го, по их отражению в кривых блеска [6, 29, 35, 65]. Все новые открытия неизвестных ранее малых спутников планет (см. напр. [19, 20]) служат об­ ширным источником новой информации для интерпретации существующих теорий и одновременно создают потребность в новых теоретических исследо­ ваниях вращательной динамики асимметричных спутников.

В главе 2 были вычислены полные спектры ХПЛ хаотического враще­ ния для набора из 11 спутников при помощи метода HQRB, предложенного фон Бременом и др. [7]. Для вычисления МХПЛ использовался также более традиционный метод теневой траектории. Рассматривались пространствен­ ная (трехмерная) и плоская (с осью вращения, ортогональной плоскости орби­ ты) модели вращения. Численные оценки ХПЛ, полученные в плоском и про­ странственном случаях хаотического вращения, сопоставлялись с аналитиче­ скими оценками, даваемыми теорией сепаратрисных отображений [84, 86] в модели нелинейного резонанса (в данном случае — синхронного спин-орби­ тального резонанса) как возмущенного нелинейного маятника. Были получе­ ны свидетельства очень хорошего согласия данных численного моделирова­ ния с теорией сепаратрисных отображений в плоском случае. Более того, бы­ ло показано, что разработанная для плоского случая теория, вероятнее всего, сохраняет свою применимость и в случае пространственного вращения, если динамическая асимметрия спутника достаточно мала и/или эксцентриситет его орбиты достаточно велик (но не настолько, чтобы динамическая модель стала неприменимой).

Теория какого типа будет применима во всем диапазоне значений пара­ метров, в настоящее время неизвестно. Неясна также роль начальных усло­ вий в пространственной задаче, которая имеет три с половиной степени сво­ боды, если спутник движется по эллиптической орбите — т. е. на две степени свободы больше, чем в плоском случае. В данной главе делается попытка дальнейшего прояснения перспектив аналитической оценки ХПЛ хаотическо­ го вращения спутников. Объектом исследования служит та же модельная задача, что и в главе 2: спутник представлен трехосным твердым телом на фиксированной эллиптической или круговой орбите. Метод исследования за­ ключается в вычислении ляпуновских спектров задачи пространственного хаотического вращения и анализе наблюдаемых зависимостей ХПЛ от инер­ ционных и орбитальных параметров спутника и от значения константы Якоби динамической системы.

Рассматриваемый в данной главе набор реальных спутников включает 12 спутников Марса, Юпитера, Сатурна и Нептуна. По сравнению с преды­ дущей главой, в набор включен один дополнительный спутник, Адрастея.

Все это — по-прежнему спутники с известными значениями инерционных и орбитальных параметров.

Во-первых, вычисленные МХПЛ сравниваются с МХПЛ, полученными для эксцентриситета орбиты, формально положенного равным нулю. Это поз­ воляет получить информацию о границах применимости теории, основанной на методе сепаратрисного отображения [84, 86], в пространственном случае.

Во-вторых, изучается вопрос о применимости метода сепаратрисных отобра­ жений для аналитической оценки МХПЛ в случае вытянутого осесимметрич­ ного спутника. Этот случай достаточно важен, поскольку некоторые спут­ ники с известной формой близки к вытянутому осесимметричному случаю (см. данные в табл. 3.1). В третьих, исследуется зависимость компонент ля­ пуновского спектра от интеграла Якоби системы для спутника произвольной формы на круговой орбите. Цель этого — положить основы дополнительному методу аналитической оценки ХПЛ, который бы работал в тех случаях, когда начальные условия играют в определении ХПЛ заметную роль. Как будет по­ казано, эта роль является определяющей при высоких значениях константы Якоби системы.

3.2. Вычисление ляпуновских спектров Моделью спутника в данной главе служит трехосный эллипсоид одно­ родной плотности, обращающийся по фиксированной эллиптической или кру­ говой орбите, движение которого подчиняется системе уравнений (2.19)–(2.24), определенной в разделе 2.5.2. Спектры ХПЛ вычисляются посредством мето­ да HQRB, описанного в разделе 2.4, с применением того же самого интегра­ тора [25].

Имея вектор начального положения 0 = (0, 0, 0, 0, 0, 0 ), мы вычис­ ляем итеративно вектор положения = (,,,,, ) на равномерной сетке = · ( = 1,..., ) путем интегрирования уравнений движения являющихся уравнениями Эйлера (2.19, 2.21).

В данной главе используется другой метод вычисления матрицы каса­ тельного отображения (, = 1,..., 6), чем в главе 2. А именно, вместо использования прямого численного приближения для она вычисляется путем интегрирования вариационных уравнений где — матрица Якоби исходной нелинейной системы (3.1). Начальным усло­ вием для в (3.2) служит = (единичная матрица) на каждом шаге ите­ рации. Выражения. (3.1) и (3.2) интегрируются совместно. Таким образом, полная система есть где = (,,,,,, 11, 12,..., 16, 21,..., 66 ) это новый «вектор поло­ жения», (, ) = (, ) для первых 6 переменных и (, ) = (, ) для остальных. Система (3.3) имеет порядок 6 + 36 = 42.

Как было обнаружено в ходе сопоставления с методом вычисления мат­ рицы касательного отображения, использованным в главе 2, метод (3.2), (3.3) дает значительное преимущество в точности, поскольку он не требует введе­ ния дополнительного произвольного малого параметра, отвечающего длине векторов смещения, аппроксимирующих истинные касательные вектора. Тем самым повышается возможная длительность интервала интегрирования. Бо­ лее того, несмотря на существенно более высокий порядок интегрируемой системы, данный метод также приводит к возрастанию скорости расчетов приблизительно вдвое — благодаря тому, что в нем не нужно выполнять дополнительных итераций исходного отображения (см. раздел 2.4).

Описанная процедура позволяет получить оценки ХПЛ на каждом шаге итерации. Эти оценки испытывают сильные колебания в начале интервала интегрирования. Поэтому, как и ранее, значения ХПЛ можно считать окон­ чательными, если они оставались стабильными в течение достаточно долгого времени («вышли на плато»). Для повышения точности в данной главе осу­ ществляется усреднение по большому интервалу времени интегрирования, составляющему по крайней мере удвоенное время выхода на плато. Как ока­ залось, для всех вычислений в данной главе достаточно интервала = 106.

В качестве «истинного» значения ХПЛ принимается среднее по второй поло­ вине этого интервала, т. е. [5 · 105, 106 ]).

Аналогично, в качестве теста внутренней устойчивости метода исполь­ зуется сумма всех ХПЛ () + (7) ( = 1, 2, 3), которая должна равняться нулю для гамильтоновой системы. Данный тест показал, что, начиная с мо­ мента достижения плато, эти суммы как правило не превышают 0.01–0.02% от среднего значения на плато. Этот результат указывает на гораздо более высокую (примерно на два порядка) точность этого метода по сравнению с тем, который был использован в главе 2. Некоторые другие тесты надежности вычислений представлены ниже в разделе 3.6.

периода. МХПЛ в расчете на сутки получается умножением этих значений на orb, где период обращения orb выражен в сутках.

3.3. Орбитальное движение и ХПЛ вращения Методом, описанным в разделe 3.2, были вычислены ляпуновские спек­ тры для выборки из 12 малых спутников планет с известными орбитальны­ ми и инерционными параметрами. Поскольку целью данной главы является исследование возможности хаотического движения спутника в ходе его ди­ намической истории, а не его фактическое состояние в настоящее время, на­ чальные данные для интегрирования выбираются внутри хаотического слоя фазового пространства: 0 = 1.5, 0 = 0 = 0.001; 0 = 1, 0 = 0 = 0.1 Эти данные приблизительно соответствуют неустойчивому верхнему положению маятника в модели синхронного резонанса [84, 86] (см. тж. главу 2). Началь­ ная точка берется вне плоскости орбиты (0 = 0 = 0.001) для того, чтобы обеспечить пространственное вращение.

Результаты расчетов представлены вместе с параметрами спутников в табл. 3.1. Отношения /, / и эксцентриситеты орбит взяты из следу­ ющих источников: [48] (Фобос); [57] (Деймос, Амальтея, Янус и Эпиметей);

[23] (Адрастея); [53] (Гиперион); [49] (Елена); [9] (Атлас); [22] (Прометей и Пандора); [17] (Протей). В случае, когда в работе приведены геометрические размеры,,, отношения /, / вычисляются в предположении того, что спутник является трехосным эллипсоидом однородной плотности, т. е.



Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 17 |
 


Похожие материалы:

« Гожа Марина Львовна НАСЕЛЕНИЕ РАССЕЯННЫХ ЗВЕЗДНЫХ СКОПЛЕНИЙ ГАЛАКТИКИ 01.03.02 – астрофизика и звездная астрономия Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор В.А. Марсаков Ростов-на-Дону – 2014 2 Оглавление Введение………………………………………………………………………………. 5 Глава 1. Неоднородность населения рассеянных звездных скоплений в Галактике…………………………………………………………………………. 20 1.1 ...»

«ЧАЗОВ Вадим Викторович РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЙ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук Специальность 01.03.01. Астрометрия и небесная механика Москва – 2012 Содержание 1 Содержание Предисловие 7 1 Постановка задачи 17 1.1 Стандартные соглашения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.1 Системы отсчёта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.2 ...»

« УДК 524.7;524.72-4 КАЙСИНА Елена Ивановна БАЗОВЫЕ СВОЙСТВА ГАЛАКТИК МЕСТНОГО ОБЪЕМА (01.03.02 - Астрофизика и звездная астрономия) ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук Научный руководитель: доктор физико–математических наук, профессор Караченцев И. Д. Нижний Архыз – 2014 2 Оглавление Введение Общая характеристика работы Актуальность Цели и задачи исследования Научная новизна Научная и практическая ценность работы Основные результаты ...»







 
© 2013 www.dis.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.