Куприянов владимир викторович численно-экспериментальное исследование вращательной динамики спутников планет 01.03.01 – астрометрия и небесная механика диссертация на соискание
Влияние внешних (спин-орбитальных) резонансов —и, в частности, син хронного резонанса — на ХПЛ должно возрастать с увеличением эксцен триситета орбиты и с уменьшением геометрической асимметрии спутника (см. [46]). И наоборот, естественно предположить, что хаотическая динамика пространственного вращения существенно асимметричного спутника на по чти круговой орбите определяется, главным образом, взаимодействием внут ренних резонансов связи. В настоящее время отсутствует какая-либо теория Для двух спутников, Атласа и Протея, использованы несколько иные начальные условия: 0 = 1.51 и 0 = 1.52, т. к. точка 0 = 1.5, которая подходит для остальных спутников, для этих двух лежит вне хаотической области при = 0.
Таблица 3.1. Инерционные параметры, эксцентриситеты орбит и спектры ХПЛ Амальтея (J5).5049.9371.00300.102.032.0028.117. Адрастея (J14).6098.8293.00000.172.030.0000.172. Гиперион (S7).6220.8840.10000.054.019.0035.154. Эпиметей (S11).7055.9081.00700.067.019.0021.124. Прометей (S16).4124.8723.00400.148.056.0043.182. Пандора (S17).5717.8622.00400.143.050.0056.176. аналитической оценки ХПЛ в этом случае. Для того, чтобы помочь созданию такой теории, в данной главе вычислены спектры ХПЛ для выборки из спутников с эксцентриситетом орбиты, формально положенным равным ну лю. Результаты представлены в табл. 3.1. Заметим, что наблюдаемый эксцен триситет орбиты Адрастеи и так нулевой. В случае = 0 наша гамильтонова система автономна, и компонента =0 = 0.
В графическом виде результаты для ненулевого и нулевого эксцентри ситета сопоставлены на рис. 3.1. «Усы» на рис. 3.1 — так же, как и всю ду в этой главе — отражают максимальные отклонения мгновенной оценки ХПЛ от среднего значения на интервале [5 · 105, 106 ]. Прямые линии представляют собой линейные аппроксимации =0 = () + ( = 1, 2), где = 0.571 ± 0.650, = 0.066 ± 0.069 для = 1 и = 0.543 ± 0.338, = 0.009 ± 0.011 для = 2. Статистические погрешности приведены для доверительного уровня 95%, как и всюду в настоящей работе.
Какая-либо корреляция на рис. 3.1(a) отсутствует (коэффициент кор реляции = 0.552). Это свидетельствует о том, что эксцентриситет орби ты и, тем самым, взаимодействие спин-орбитальных резонансов играют важ нейшую роль в определении (1) для рассмотренной выборки спутников. С другой стороны, некоторая корреляция (линейная зависимость) присутству ет на рис. 3.1(b) ( = 0.771). Это говорит о том, что в определении (2) решающая роль принадлежит внутренним резонансам связи, чье доминиро вание обусловлено наличием дополнительных степеней свободы по сравнению с плоским случаем.
По данным табл 3.1 можно получить простые эмпирические зависимо сти, аналогичные приведенным в разделе 2.6. Отличие от оценок (2.25)–(2.25) в численном методе определения ХПЛ и небольшом расширении набора спут ников.
Рис. 3.1. Сопоставление численных оценок компонент ляпуновского спектра для = 0 с оценками для реального значения эксцентриситета; (a) (1), (b) (2) (2) = (0.089 ± 0.047) + (0.089 ± 0.032), = 0.80;
(3) = (0.006 ± 0.009) + (0.007 ± 0.006), = 0.42;
(2) = (0.171 ± 0.206) + (0.180 ± 0.183), = 0.50;
(3) = (0.015 ± 0.027) + (0.016 ± 0.024), = 0.37;
(2) = (0.271 ± 0.133)(1) + (0.001 ± 0.015), = 0.82;
(3) = (0.003 ± 0.028)(1) + (0.003 ± 0.003), = 0.08.
Статистическая значимость большинства этих оценок низка, в согласии с ре зультатами главы 2. В разделе 3.5 будет показано, что корреляция (1) с величиной константы Якоби системы для данных значений / и / в автономном случае гораздо лучше, так что по сравнению с приведенными выше зависимостями (1) от / и / зависимость (1) от константы Яко би представляется гораздо более предпочтительным средством оценивания МХПЛ.
Следует отметить, однако, достаточно явную корреляцию ( = 0.82) (2) с (1). При этом (3) не коррелирует с (1) ( = 0.08); это может сви детельствовать о больших относительных ошибках определения (3) в силу малой его величины.
3.4. Аналитическая оценка ХПЛ: границы применимости В численных экспериментах, проведенных в главе 2, получены предва рительные указания на применимость теории сепаратрисных отображений для аналитической оценки МХПЛ хаотического пространственного вращения спутников: 0.02 и / 0.8.
В данном разделе мы пытаемся уточнить эти оценки для случая вы тянутого осесимметричного спутника. Достичь этого можно вычислением МХПЛ для модельного набора параметров. Зафиксируем / = 1 и бу дем варьировать и /. Результаты расчетов для = 0.001, 0.01, 0.1 и 0.2, / [0.05, 0.95] с шагом / = 0.05 приведены на рис. 3.2. Зна чения всех параметров интегрирования и начальных условий те же, что и в разделе 3.3. Сплошные кружки отвечают исходным начальным данным, а ромбики — тем же данным, но с небольшим смещением (0 = 0.99). Теорети ческие кривые получены по формулам, следующим из теории сепаратрисных отображений [84, 86].
Хорошее согласие с теорией наблюдается во всем диапазоне / и почти для всех рассмотренных значений (за исключением = 0.001). Это согла сие логично объяснить осевой симметрией модельного спутника. Автономная гамильтонова система, описывающая пространственное вращение несферич ного спутника на круговой орбите, имеет три степени свободы. В случае осе симметричного спутника число степеней свободы уменьшается до двух (см.
напр. [47]). Соответственно, неавтономная ( = 0) система имеет 2.5 степе ни свободы вместо 3.5. Количество резонансов связи, соответственно, много меньше, и топология фазового пространства гораздо проще. Поэтому можно ожидать, что теория, развитая для плоского вращения произвольно асим метричного спутника, должна остаться справедливой для случая простран Рис. 3.2. Зависимость МХПЛ от /; / = 1. Численные оценки и теория; (a) = 0.001, (b) = 0.01, (c) = 0.1, (d) = 0. ственного вращения осесимметричного спутника, если эксцентриситет орби ты достаточно велик: взаимодействие спин-орбитальных резонансов при этом все еще может оставаться доминирующим фактором. Область применимости теории в этом случае, как представляется, значительно шире в сравнении со случаем пространственным вращением несимметричного спутника. На самом деле, согласие с теорией наблюдается во всем диапазоне / для эксцентри ситетов в интервале [0.01, 0.2] (см. рис. 3.2(b), (c), (d)). Для = 0. (рис. 3.2(a)) оно также наблюдается при / 0.8. Таким образом, отклоне ние от теории возникает при малых значениях эксцентриситета (рис. 3.2(a)), и даже тогда оно не проявляется, если спутник близок к сферическому (/ близко к единице). Это созвучно общему предположению, сформулированно му в предыдущей главе: теория не отвечает реальности только в том случае, когда взаимодействие внутренних резонансов связи преобладает над взаимо действием спин-орбитальных резонансов.
3.5. Зависимость ХПЛ от константы Якоби В данном разделе исследуется вопрос влияния начальных условий на значения ХПЛ автономной гамильтоновой системы. Гамильтониан враща тельного движения твердого тела, представляющего собой трехосный эллип соид на круговой орбите (интеграл или константа Якоби), согласно [57], выгляди как где = cos sin + sin + cos cos — импульс, сопряженный углу Эйлера. Остальные величины уже определены ранее. Этот интеграл дает закон сохранения энергии [61] как суммы кинетической энергии относи тельного движения и потенциальной энергии ньютоновых сил и сил инерции.
Разделим для удобства величину (3.5) на и выразим направляющие косинусы и компоненты вектора угловой скорости через углы Эйлера и их производные. Окончательно имеем выражение в которое можно подставить начальные условия и значения параметров для непосредственного вычисления константы Якоби. Здесь используются перво начальные переменные; гамильтониан (3.6) можно выразить в автономном виде простой канонической подстановкой. Здесь и далее для вычисления кон станты Якоби используется выражение (3.6).
Положим = 0, вычислим ХПЛ и определим зависимость ХПЛ от кон станты Якоби. Для того, чтобы обеспечить хаотический режим, примем 0 0. Значение константы Якоби меняется варьированием значения 0 в диапазоне 0 [1, 1] с шагом 0 = 0.05. Остальные начальные условия в точности те же, что использовались в разделе 3.3. Имеются точки, которые для некоторого значения 0 оказываются лежащими в регулярной области Рис. 3.3. Зависимости МХПЛ от константы Якоби для трехосного спутника: заштрихо ванные кружки – / = 0.05, / = 0.25, незаштрихованные кружки – / = 0.1, / = 0.5, заштрихованные квадраты – / = 0.25, / = 0.5, незаштрихованные квад раты – / = 0.5, / = 0. фазового пространства, что приводит к (1) = 0. Такие точки исключены из графиков, приведенных ниже.
На рис. 3.3 представлены зависимости (1) для трехосного спутника от константы Якоби для различных значений инерционных параметров. Зави симости для вытянутого ( = ) и сплюснутого ( = ) осесимметричного спутника показаны на рис. 3.4. Всюду используется одна и та же сетка зна чений /.
Графики (2) как функции приведены на рис. 3.5. Компонента (3) в случае = 0 равна нулю. Для осесимметричного спутника на круговой орбите нулю равны и (2), и (3).
Можно видеть, что в большинстве случаев зависимость и (1), и (2) от константы Якоби линейна, если значения последней сравнительно малы. Ко гда это возможно, эта зависимость на начальном участке аппроксимирована прямыми, как показано на рис. 3.3, 3.4 и 3.5. Коэффициенты линейной ре грессии для каждого случая приведены в табл. 3.2 и 3.3. Диапазоны значений константы Якоби, поддающиеся линейной аппроксимации, были определены Рис. 3.4. Зависимости МХПЛ от константы Якоби для осесимметричного спутника:
(a) =, (b) = ; заштрихованные кружки – / = 0.05, незаштрихованные кружки – / = 0.1, заштрихованные треугольники – / = 0.25, незаштрихованные треугольни ки – / = 0. Рис. 3.5. Зависимости (2) от константы Якоби: (a) / = 0.05, / = 0.25, (b) / = 0.1, / = 0.5, (c) / = 0.25, / = 0.5, (d) / = 0.5, / = 0. визуально по графикам; они указаны в последнем столбце табл. 3.2. Отме тим, что аппроксимирующая прямая не проведена на рис. 3.4(b); вместо нее для сравнения воспроизведена прямая с рис. 3.4(a).
Можно сделать важный вывод, рассмотрев зависимость для вытянутого осесимметричного спутника на рис. 3.4: зависимость (1) от константы Якоби на самом деле одна и та же для всех значений /, небольшое отклонение имеется только для / = 0.5. Выраженное в периодах обращения orb ля пуновское время, т. е. величина, обратная МХПЛ, в диапазоне [1.0, 1.24] (и, предположительно, / 0.5) определяется соотношением где = 0.591±0.033 и = 0.509±0.037, при = 0.991. Из этого же графика мы видим, что верхняя граница (1) не превышает 0.24, так что ляпуновское время приближенно равно 0.66 периодов обращения.
Из графиков, приведенных на рис. 3.3 и 3.4, можно заключить, что верхняя граница (1) для данных / и / явным образом зависит от горизонтального положения максимума кривой, которое мы обозначим как 0. А именно, чем больше 0, тем ниже верхняя граница. Это соотноше ние можно выразить в терминах сдвига линейной части графика (1) ():
(1) (0 ) = max примерно пропорционально. Значения этого коэффициента приведены в табл. 3.2. Регрессионный анализ дает следующий результат:
при = 0.89. Графическое представление этого результата показано на рис. 3.6.