Куприянов владимир викторович численно-экспериментальное исследование вращательной динамики спутников планет 01.03.01 – астрометрия и небесная механика диссертация на соискание

Влияние внешних (спин-орбитальных) резонансов —и, в частности, син­ хронного резонанса — на ХПЛ должно возрастать с увеличением эксцен­ триситета орбиты и с уменьшением геометрической асимметрии спутника (см. [46]). И наоборот, естественно предположить, что хаотическая динамика пространственного вращения существенно асимметричного спутника на по­ чти круговой орбите определяется, главным образом, взаимодействием внут­ ренних резонансов связи. В настоящее время отсутствует какая-либо теория Для двух спутников, Атласа и Протея, использованы несколько иные начальные условия: 0 = 1.51 и 0 = 1.52, т. к. точка 0 = 1.5, которая подходит для остальных спутников, для этих двух лежит вне хаотической области при = 0.

Таблица 3.1. Инерционные параметры, эксцентриситеты орбит и спектры ХПЛ Амальтея (J5).5049.9371.00300.102.032.0028.117. Адрастея (J14).6098.8293.00000.172.030.0000.172. Гиперион (S7).6220.8840.10000.054.019.0035.154. Эпиметей (S11).7055.9081.00700.067.019.0021.124. Прометей (S16).4124.8723.00400.148.056.0043.182. Пандора (S17).5717.8622.00400.143.050.0056.176. аналитической оценки ХПЛ в этом случае. Для того, чтобы помочь созданию такой теории, в данной главе вычислены спектры ХПЛ для выборки из спутников с эксцентриситетом орбиты, формально положенным равным ну­ лю. Результаты представлены в табл. 3.1. Заметим, что наблюдаемый эксцен­ триситет орбиты Адрастеи и так нулевой. В случае = 0 наша гамильтонова система автономна, и компонента =0 = 0.

В графическом виде результаты для ненулевого и нулевого эксцентри­ ситета сопоставлены на рис. 3.1. «Усы» на рис. 3.1 — так же, как и всю­ ду в этой главе — отражают максимальные отклонения мгновенной оценки ХПЛ от среднего значения на интервале [5 · 105, 106 ]. Прямые линии представляют собой линейные аппроксимации =0 = () + ( = 1, 2), где = 0.571 ± 0.650, = 0.066 ± 0.069 для = 1 и = 0.543 ± 0.338, = 0.009 ± 0.011 для = 2. Статистические погрешности приведены для доверительного уровня 95%, как и всюду в настоящей работе.

Какая-либо корреляция на рис. 3.1(a) отсутствует (коэффициент кор­ реляции = 0.552). Это свидетельствует о том, что эксцентриситет орби­ ты и, тем самым, взаимодействие спин-орбитальных резонансов играют важ­ нейшую роль в определении (1) для рассмотренной выборки спутников. С другой стороны, некоторая корреляция (линейная зависимость) присутству­ ет на рис. 3.1(b) ( = 0.771). Это говорит о том, что в определении (2) решающая роль принадлежит внутренним резонансам связи, чье доминиро­ вание обусловлено наличием дополнительных степеней свободы по сравнению с плоским случаем.

По данным табл 3.1 можно получить простые эмпирические зависимо­ сти, аналогичные приведенным в разделе 2.6. Отличие от оценок (2.25)–(2.25) в численном методе определения ХПЛ и небольшом расширении набора спут­ ников.

Рис. 3.1. Сопоставление численных оценок компонент ляпуновского спектра для = 0 с оценками для реального значения эксцентриситета; (a) (1), (b) (2) (2) = (0.089 ± 0.047) + (0.089 ± 0.032), = 0.80;

(3) = (0.006 ± 0.009) + (0.007 ± 0.006), = 0.42;

(2) = (0.171 ± 0.206) + (0.180 ± 0.183), = 0.50;

(3) = (0.015 ± 0.027) + (0.016 ± 0.024), = 0.37;

(2) = (0.271 ± 0.133)(1) + (0.001 ± 0.015), = 0.82;

(3) = (0.003 ± 0.028)(1) + (0.003 ± 0.003), = 0.08.

Статистическая значимость большинства этих оценок низка, в согласии с ре­ зультатами главы 2. В разделе 3.5 будет показано, что корреляция (1) с величиной константы Якоби системы для данных значений / и / в автономном случае гораздо лучше, так что по сравнению с приведенными выше зависимостями (1) от / и / зависимость (1) от константы Яко­ би представляется гораздо более предпочтительным средством оценивания МХПЛ.

Следует отметить, однако, достаточно явную корреляцию ( = 0.82) (2) с (1). При этом (3) не коррелирует с (1) ( = 0.08); это может сви­ детельствовать о больших относительных ошибках определения (3) в силу малой его величины.

3.4. Аналитическая оценка ХПЛ: границы применимости В численных экспериментах, проведенных в главе 2, получены предва­ рительные указания на применимость теории сепаратрисных отображений для аналитической оценки МХПЛ хаотического пространственного вращения спутников: 0.02 и / 0.8.

В данном разделе мы пытаемся уточнить эти оценки для случая вы­ тянутого осесимметричного спутника. Достичь этого можно вычислением МХПЛ для модельного набора параметров. Зафиксируем / = 1 и бу­ дем варьировать и /. Результаты расчетов для = 0.001, 0.01, 0.1 и 0.2, / [0.05, 0.95] с шагом / = 0.05 приведены на рис. 3.2. Зна­ чения всех параметров интегрирования и начальных условий те же, что и в разделе 3.3. Сплошные кружки отвечают исходным начальным данным, а ромбики — тем же данным, но с небольшим смещением (0 = 0.99). Теорети­ ческие кривые получены по формулам, следующим из теории сепаратрисных отображений [84, 86].

Хорошее согласие с теорией наблюдается во всем диапазоне / и почти для всех рассмотренных значений (за исключением = 0.001). Это согла­ сие логично объяснить осевой симметрией модельного спутника. Автономная гамильтонова система, описывающая пространственное вращение несферич­ ного спутника на круговой орбите, имеет три степени свободы. В случае осе­ симметричного спутника число степеней свободы уменьшается до двух (см.

напр. [47]). Соответственно, неавтономная ( = 0) система имеет 2.5 степе­ ни свободы вместо 3.5. Количество резонансов связи, соответственно, много меньше, и топология фазового пространства гораздо проще. Поэтому можно ожидать, что теория, развитая для плоского вращения произвольно асим­ метричного спутника, должна остаться справедливой для случая простран­ Рис. 3.2. Зависимость МХПЛ от /; / = 1. Численные оценки и теория; (a) = 0.001, (b) = 0.01, (c) = 0.1, (d) = 0. ственного вращения осесимметричного спутника, если эксцентриситет орби­ ты достаточно велик: взаимодействие спин-орбитальных резонансов при этом все еще может оставаться доминирующим фактором. Область применимости теории в этом случае, как представляется, значительно шире в сравнении со случаем пространственным вращением несимметричного спутника. На самом деле, согласие с теорией наблюдается во всем диапазоне / для эксцентри­ ситетов в интервале [0.01, 0.2] (см. рис. 3.2(b), (c), (d)). Для = 0. (рис. 3.2(a)) оно также наблюдается при / 0.8. Таким образом, отклоне­ ние от теории возникает при малых значениях эксцентриситета (рис. 3.2(a)), и даже тогда оно не проявляется, если спутник близок к сферическому (/ близко к единице). Это созвучно общему предположению, сформулированно­ му в предыдущей главе: теория не отвечает реальности только в том случае, когда взаимодействие внутренних резонансов связи преобладает над взаимо­ действием спин-орбитальных резонансов.

3.5. Зависимость ХПЛ от константы Якоби В данном разделе исследуется вопрос влияния начальных условий на значения ХПЛ автономной гамильтоновой системы. Гамильтониан враща­ тельного движения твердого тела, представляющего собой трехосный эллип­ соид на круговой орбите (интеграл или константа Якоби), согласно [57], выгляди как где = cos sin + sin + cos cos — импульс, сопряженный углу Эйлера. Остальные величины уже определены ранее. Этот интеграл дает закон сохранения энергии [61] как суммы кинетической энергии относи­ тельного движения и потенциальной энергии ньютоновых сил и сил инерции.

Разделим для удобства величину (3.5) на и выразим направляющие косинусы и компоненты вектора угловой скорости через углы Эйлера и их производные. Окончательно имеем выражение в которое можно подставить начальные условия и значения параметров для непосредственного вычисления константы Якоби. Здесь используются перво­ начальные переменные; гамильтониан (3.6) можно выразить в автономном виде простой канонической подстановкой. Здесь и далее для вычисления кон­ станты Якоби используется выражение (3.6).

Положим = 0, вычислим ХПЛ и определим зависимость ХПЛ от кон­ станты Якоби. Для того, чтобы обеспечить хаотический режим, примем 0 0. Значение константы Якоби меняется варьированием значения 0 в диапазоне 0 [1, 1] с шагом 0 = 0.05. Остальные начальные условия в точности те же, что использовались в разделе 3.3. Имеются точки, которые для некоторого значения 0 оказываются лежащими в регулярной области Рис. 3.3. Зависимости МХПЛ от константы Якоби для трехосного спутника: заштрихо­ ванные кружки – / = 0.05, / = 0.25, незаштрихованные кружки – / = 0.1, / = 0.5, заштрихованные квадраты – / = 0.25, / = 0.5, незаштрихованные квад­ раты – / = 0.5, / = 0. фазового пространства, что приводит к (1) = 0. Такие точки исключены из графиков, приведенных ниже.

На рис. 3.3 представлены зависимости (1) для трехосного спутника от константы Якоби для различных значений инерционных параметров. Зави­ симости для вытянутого ( = ) и сплюснутого ( = ) осесимметричного спутника показаны на рис. 3.4. Всюду используется одна и та же сетка зна­ чений /.

Графики (2) как функции приведены на рис. 3.5. Компонента (3) в случае = 0 равна нулю. Для осесимметричного спутника на круговой орбите нулю равны и (2), и (3).

Можно видеть, что в большинстве случаев зависимость и (1), и (2) от константы Якоби линейна, если значения последней сравнительно малы. Ко­ гда это возможно, эта зависимость на начальном участке аппроксимирована прямыми, как показано на рис. 3.3, 3.4 и 3.5. Коэффициенты линейной ре­ грессии для каждого случая приведены в табл. 3.2 и 3.3. Диапазоны значений константы Якоби, поддающиеся линейной аппроксимации, были определены Рис. 3.4. Зависимости МХПЛ от константы Якоби для осесимметричного спутника:

(a) =, (b) = ; заштрихованные кружки – / = 0.05, незаштрихованные кружки – / = 0.1, заштрихованные треугольники – / = 0.25, незаштрихованные треугольни­ ки – / = 0. Рис. 3.5. Зависимости (2) от константы Якоби: (a) / = 0.05, / = 0.25, (b) / = 0.1, / = 0.5, (c) / = 0.25, / = 0.5, (d) / = 0.5, / = 0. визуально по графикам; они указаны в последнем столбце табл. 3.2. Отме­ тим, что аппроксимирующая прямая не проведена на рис. 3.4(b); вместо нее для сравнения воспроизведена прямая с рис. 3.4(a).

Можно сделать важный вывод, рассмотрев зависимость для вытянутого осесимметричного спутника на рис. 3.4: зависимость (1) от константы Якоби на самом деле одна и та же для всех значений /, небольшое отклонение имеется только для / = 0.5. Выраженное в периодах обращения orb ля­ пуновское время, т. е. величина, обратная МХПЛ, в диапазоне [1.0, 1.24] (и, предположительно, / 0.5) определяется соотношением где = 0.591±0.033 и = 0.509±0.037, при = 0.991. Из этого же графика мы видим, что верхняя граница (1) не превышает 0.24, так что ляпуновское время приближенно равно 0.66 периодов обращения.

Из графиков, приведенных на рис. 3.3 и 3.4, можно заключить, что верхняя граница (1) для данных / и / явным образом зависит от горизонтального положения максимума кривой, которое мы обозначим как 0. А именно, чем больше 0, тем ниже верхняя граница. Это соотноше­ ние можно выразить в терминах сдвига линейной части графика (1) ():

(1) (0 ) = max примерно пропорционально. Значения этого коэффициента приведены в табл. 3.2. Регрессионный анализ дает следующий результат:

при = 0.89. Графическое представление этого результата показано на рис. 3.6.