WWW.DIS.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 20 |

Чазов вадим викторович разработка и применение алгоритмов численно-аналитического метода вычисления положений искусственных спутников земли диссертация на соискание учёной степени

-- [ Страница 10 ] --

Разности между наибольшими и наименьшими значениями показателей степени j1, j3, j4 и j5, например, возрастают от +1 при значении = до +4 при = 107 и достигают величины +10 при значении параметра точности = 1013. Для j2 разность не превышает +3, для j6 – 2.3.9 Формулы рекурсии В качестве стартовых условий примем “начальные” функции (табл.6). Для произвольных целых значений n и k справедливы рекуррентные формулы:

Простая идея предлагаемого алгоритма заключается в том, что возмущающую функцию, обусловленную действием на спутник различных факторов, можно представить в виде суммы слагаемых, обладающих структурой (163).

Идея основана на том факте, что каждое слагаемое возмущающей функции является произведением соотношений, одно из которых зависит только от координат спутника, а другое содержит зависимость либо от звёздного времени, либо от координат Луны или Солнца.

При записи разложения для геопотенциала в системе истинного экватора (формула (145) на с.79) были использованы функции звёздного времени S.

Каждая из этих функций – Cnk, Snk, Cn1 и Sn1 – не зависит от координат объекта и является суммой двух элементарных слагаемых.

При записи возмущающей функции, обусловленной действием Луны и Солнца (формула (147) на с.80), приливами упругой Земли (формула (150) на с.81) и световым давлением (формула (153) на с.82) были использованы функции от координат Луны и Солнца (формулы (148) на с.80). Каждая из этих функций в результате аналитических операций (приложение, с.174) преобразованы к сумме членов типа (163).

Следующий шаг состоит в преобразовании соотношений, зависящих только от координат спутника, к сумме элементарных слагаемых.

В возмущающих функциях, обусловленных геопотенциалом, притяжением Луны и Солнца, приливами и световым давлением, при произвольных целых значениях n и k выделяются четыре различных сомножителя:

Производная порядка k по аргументу z/r от полинома Лежандра Pn (z/r) является многочленом порядка n k относительно z/r. В результате применения алгоритмов рекурсии (170) (174), рекуррентных формул для многочленов Лежандра (233) (236) и операций перемножения и сложения рядов каждый сомножитель принимает вид суммы элементарных слагаемых.

Последний шаг преобразования возмущающей функции заключается в умножении рядов, полученных для каждого из сомножителей, зависящих только от координат спутника, на соответствующие суммы элементарных слагаемых, образованные для выражений Cnk, Snk, A, B. nk nk 2.3.10 Новые результаты • Разработан алгоритм преобразования возмущающей функции в сумму “элементарных” слагаемых.

• Отличительной чертой алгоритма является способ конструирования возмущающей функции на основе “начальных” функций координат.

• В предлагаемом алгоритме формулы промежуточного движения учитываются с максимально возможной точностью.

Преимущество использования в теории возмущений вместо кеплеровской орбиты промежуточной орбиты, основанной на решении обобщённой задачи двух неподвижных центров, иллюстрирует рис.4. Для модельного объекта 25505.59 T````` ``` `` ```` ````` ` ``` ````` ``` `````` ```` `````` `` `` `` ` ``` ` `` ` `````` ``` ````` ````` ```` ```` ```` 25503.46 `` ` ``` `` ```` `` `` ` ` `````` ```` `` ```` ` `` `` ``````` ``` ` `` ``` ` `````` ````` `` ```` ``````` ` ``` `` ````` `` `` ` ``````` ```` ` ` ``` ` ```` ` ` ``` ``` ```` ` ` `````` `````` ` ``` ` ``` `` `````` ` ``` ``` ``` `` ```` `` ``````` ```` ``` ````` `` `````` ```` ```` ```` ````````` ``````` ````` `` ``` ` ```` `` ` 0.001046 ```` ```` ```` ``` `` ``` ```` ```` ``` ```` `` ``` ``` ```` ``` ```` ` ```` ``` ```` ```` `````` ``` ```` ````` ``` `````` ``` ``` ````` ````` `````` ``` ```` ````` ```` ```` ``` ```` ```` ````` ````` ```` `` ```` ``` ```` ``` ```` ``` ``` ``` ```` ``` ``` ``` ``` ``` ````` ```` ``` -128.840 ```` ```` ```` ``` ```` ``` ``` ```` ````` ``` ```` ``` ```` ```` ``` ```` ```` ``` ``` ``` ```` ````` ```` ``` ```` ```` ```` ```` ```` ```` ``` ```` ```````` ```` ```` ```` ``` ````````` ```` ``` ``` ```` ```````` ````` ``` ```` ```` ```` ````` ```` ```` ```` ```` ````` ```` ```` ```` ```` ```` ```` ````` с параметрами орбиты спутника Эталон (табл.1 на с.31) на интервале, равном десяти оборотам, было выполнено численное интегрирование уравнений движения с учётом всех возмущающих факторов. Вариации кеплеровских элементов орбиты (пунктирная кривая) значительно превосходят по амплитуде вариации элементов промежуточной орбиты (сплошная кривая).

2.4 Алгоритм интегрирования Алгоритм, изложенный в предыдущем разделе, позволяет представить возмущающую функцию, обусловленную действием различных факторов, как сумму слагаемых вида (163), (164):

Первые элементы одномерных массивов X(a0, e0, 0 ) и Y(a0, e0, 0 ) имеют второй порядок относительно малого параметра – сжатия Земли. Это утверждение основано на том факте, что возмущающая функция является величиной второго порядка малости (формула (48) на с.47). Зависимость от позиционных параметров промежуточной орбиты учтена частично в “буквенном” виде через величины и показатели степени и, частично, численно, с помощью частных производных высших порядков, хранящихся в одномерных массивах. Угол определён на с.87 как линейная комбинация угловых переменных промежуточной орбиты, звёздного времени и фундаментальных аргументов. Величина r0 /( 2 +c2 2 ), появившаяся ещё в выражениях на с.91, компенсирует множитель J/r0 из соотношений (175) и необходима на этапе аналитического интегрирования.



В публикациях Д.Брауэра [179], А.А.Орлова [116] и в современных исследованиях М.А.Вашковьяка [38] интегрирование слагаемых возмущающей функции выполняется с помощью дифференциальных соотношений:

где d t – дифференциал от независимой переменной, обозначающей время, f m – планетоцентрическая гравитационная постоянная, a и e – большая полуось и эксцентриситет орбиты, r – модуль расстояния, v и E – истинная и эксцентрическая аномалии кеплеровской промежуточной орбиты.

В данном разделе предложен алгоритм интегрирования на основе промежуточной орбиты обобщённой задачи двух неподвижных центров [159].

2.4.1 Дифференциальные соотношения Поскольку в промежуточном движении d t = ( 2 + c2 2 ) d, то неопределённые интегралы по времени t от слагаемых (176) принимают вид Дифференциальные соотношения между переменной и угловыми переменными и с точностью до пятого порядка малости имеют вид (с.57):

Величины f0, fk, p0, pk в этих формулах являются одномерными массивами, образованными по правилам умножения и сложения одномерных массивов, соответствующих величинам 1, k 2, 2, k 2. Для разложения подкоренных выражений было принято во внимание, что k1 и k2 являются величинами первого порядка малости, и использована формула (155) (с.84).

Эта же приближённая формула применяется к соотношению:

которое является следствием подстановки равенств в первое из выражений (53) на с.48. Для связи дифференциалов имеем Величины fk, pk, p2k1 и p2k пропорциональны сжатию в степени k.

По определению четвёртой угловой переменной (формула (106) на с.63) дифференциал d является комбинацией дифференциалов (179) и (180):

Выполним операции перемножения и сложения рядов из элементарных слагаемых, входящих в это выражение, и получим соотношение в котором численный коэффициент p1 имеет первый порядок малости относительно сжатия, а первые элементы одномерных массивов, соответствующих коэффициентам p2k1, p2k, f2k1 и f2k, пропорциональны малому параметру в степени k.

Дифференциалы d, d, dE, d дополним соотношениями где точка означает дифференцирование по времени, а дифференциал dt получим преобразованием формулы dt = ( 2 + c2 2 ) d с помощью алгоритмов перемножения и сложения рядов, состоящих из элементарных слагаемых:

Первые элементы массивов, соответствующих величинам a2k1, a2k, пропорциональны k -той степени малого параметра – сжатия Земли. Обозначим Величинам a0 и 0 следует поставить в соответствие одномерные массивы чисел со структурой (124), (125), принадлежащие множеству M. В сумму для величины p входят только периодические слагаемые.

2.4.2 Рекуррентный алгоритм При произвольных комбинациях целых чисел k5 k10 обозначим Для вычисления неопределённых интегралов (177), (178) представим дифференциал d как линейную комбинацию дифференциалов от всех угловых переменных : каждое из дифференциальных соотношений (179), (180), (181), (182), (183) умножим, соответственно, на одно из целых чисел k1 k10 и, складывая с учётом (184), (187) и (188), получим Величина A является одномерным массивом чисел со структурой (124) и вычисляется на основе начальных численных значений позиционных параметров a0, e0, 0 по правилам, определённым для объектов множества M.

Произведение части сомножителей обозначим символом Формула (189) позволяет записать два рекуррентных соотношения где через обозначена сумма элементарных слагаемых 2.4.3 Особые слагаемые Интегрирование возможно не всегда. В возмущающую функцию входят слагаемые как короткого, от долей оборота до нескольких суток, так и долгого периодов, и, что важно для всей модели, слагаемые с очень большими периодами изменений и вековой член.

Информация о периоде и частоте изменения для конкретного слагаемого содержится в численном значении первого элемента одномерного массива A(a0, e0, 0 ). Если величина A(a0, e0, 0 )/a2 меньше заранее выбранной частоты, то интегрирование не выполняется, а соответствующий член возмущающей функции называется “особым”.

Пусть при выполнении интегрирования (177) (с.97) численное значение первого элемента массива (190) указывает на то, что очередное слагаемое с аргументом является особым.

В “осреднённый” гамильтониан добавим слагаемое Следуя формуле (61), вычтем это слагаемое из (194) и запишем интеграл Подставляя обозначение 2 + c2 2 = 0 + p из формулы (185), получим С помощью равенства (186) подынтегральное выражение принимает вид где уже нет особых слагаемых с аргументом и возможно продолжение рекуррентного процесса интегрирования.

Если при интегрировании “особым” окажется слагаемое вида (178) (с.97) то в выражениях (195) и (196) следут cos заменить на sin.

2.4.4 Новые результаты • Разработан рекуррентный алгоритм интегрирования элементарных слагаемых возмущающей функции (формулы (191), (192), (193)).

• Разработан алгоритм выделения особых слагаемых – долгопериодических, резонансных и вековых (формулы (194), (195), (196)).

• Формулы промежуточного движения учтены с точностью, ограниченной только разрядной сеткой компьютера.

2.5 Осреднённые уравнения 2.5.1 “Несингулярные” переменные Воспользуемся набором “несингулярных” элементов:

Штрихи означают, что все величины являются “средними” (с.50).

Преобразуем “осреднённые” уравнения (63) (с.51) к виду Производные от параметров e и по времени t равны В произвольный момент времени надо знать только числовые значения правых частей “осреднённых” уравнений (198), (199) в несингулярных переменных, поскольку эти уравнения будут проинтегрированы численным образом.

2.5.2 Частные производные Рассмотрим алгоритм вычисления правых частей уравнений.

Частные производные от величины 1 получены на с.70 (формулы (120)), причём значения параметров n0,, µ, надо вычислять на основе “средних” значений элементов a, e, по формулам промежуточного движения.

Алгоритм вычисления частных производных от величин a, e 2, 2 по каноническим переменным действия L, G, H изложен на с.71.

В “особых” слагаемых (195), составляющих новый гамильтониан K2, сохранена структура “элементарного” слагаемого (163). Обозначим Производные по переменным l, g, h (с заменой l на g и h ) равны Алгоритм вычисления частных производных от переменных,, E, по каноническим угловым элементам l, g, h представлен на с.76.



Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 20 |
 

Похожие материалы:

« УДК 524.7;524.72-4 КАЙСИНА Елена Ивановна БАЗОВЫЕ СВОЙСТВА ГАЛАКТИК МЕСТНОГО ОБЪЕМА (01.03.02 - Астрофизика и звездная астрономия) ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук Научный руководитель: доктор физико–математических наук, профессор Караченцев И. Д. Нижний Архыз – 2014 2 Оглавление Введение Общая характеристика работы Актуальность Цели и задачи исследования Научная новизна Научная и практическая ценность работы Основные результаты ...»




 
© 2013 www.dis.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.