WWW.DIS.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 20 |

Чазов вадим викторович разработка и применение алгоритмов численно-аналитического метода вычисления положений искусственных спутников земли диссертация на соискание учёной степени

-- [ Страница 11 ] --

Производные по переменным L, G, H (с заменой L на G и H ) равны Частные производные от величины A, функции A и угловых переменных,, E, по каноническим переменным действия L, G, H следует вычислять по правилам дифференцирования функции многих переменных.

Запишем, например, частную производную от функции B(a, e, ) :

Рассмотрим в деталях каждый из вариантов дифференцирования.

Значения частных производных от A по a, e и вычисляются с помощью ряда Тейлора по формуле, аналогичной формуле (142) на с.77:

Частные производные от функции A(a, e, ) заданы формулами в которых значения производных от параметров e, s, определяются с помощью соответствующих одномерных массивов по формулам типа (202).

В случае угловых переменных в (201) надо подставить формулы со с.75.

2.5.3 Короткопериодические неравенства Простая связь между оскулирующими и “сглаженными” параметрами орбиты, определяемая формулой (62) (с.50), для “несингулярных” элементов (197) выглядит следующим образом:

e cos(g + h) = e cos(g + h ) e sin(g + h) = e sin(g + h ) где скобки Пуассона равны [156] Как и в случае “осреднённых” дифференциальных уравнений, в произвольный момент времени надо знать только численные значения правых частей выражений (203), (204). Функция преобразования S2 (с.50) является результатом интегрирования слагаемых возмущающей функции с помощью рекуррентных соотношений (191) и (192) и представляет из себя сумму короткопериодических членов, сохранивших структуру “элементарного” слагаемого (163). По этой причине остаётся в силе алгоритм вычисления частных производных, разработанный в предыдущем разделе.

2.5.4 Порядок действий Для заданных приближённых численных значений позиционных параметров орбиты a0, e0, 0 и знака параметра 3 найдём слагаемые возмущающей функции (раздел 2.3) и получим ряды для функции преобразования S и “осреднённого” гамильтониана K2 (раздел 2.4).

Пусть в начальный момент времени t0 известны численные значения “средних” элементов орбиты a (t0 ), e (t0 ), (t0 ), l (t0 ), g (t0 ), h (t0 ).

Вычислим числовые значения “несингулярных” переменных (197) в момент времени t0. С такими начальными условиями на заданном интервале времени выполним численное интегрирование “осреднённых” уравнений (198).

Для преобразований от системы сглаженных “несингулярных” элементов к “средним” параметрам орбиты e (t), (t), l (t), g (t), h (t) в произвольный момент времени t будем использовать формулы На основе “средних” параметров орбиты с помощью соотношений (203) и (204) на любой момент времени внутри интервала интегрирования определим числовые значения оскулирующих “несингулярных” элементов:

Оскулирующие элементы промежуточной орбиты e,, l, g, h вычислим из соотношений, аналогичных формулам (205).

Далее с помощью алгоритма раздела 2.1.6 (с.63) и числовых значений оскулирующих элементов промежуточной орбиты получим мгновенные значения прямоугольных координат и скоростей объекта.

2.5.5 Функции координат Количество членов в разложениях функций от координат возмущающих тел (формулы (148) на с.80 и алгоритм на с.173 приложения) в зависимости от ограничений на модуль амплитуды представлено в таблице 7:

В приложении на с.179 записаны самые большие по модулю амплитуды слагаемые разложения функций Ank, Bnk и Ank, Bnk в тригонометрические ряды с численными коэффициентами (табл.28). Алгоритм уточнения значений функций рассмотрен в разделе 2.6.4 (с.115).

2.5.6 Список упрощений В ходе построения численно-аналитической модели движения сделано несколько упрощающих предположений:

• аномальная часть геопотенциала (145) и разложение потенциала, обусловленного притяжением Луны и Солнца (147), были ограничены по порядку и степени сферических функций;

• были использованы приближённые тригонометрические ряды (148) для представления функций от координат возмущающих тел;

• при построении возмущающей функции в “буквенном” виде (163) ограничена величина максимальной степени позиционных параметров;

• при интегрировании предполагается, что звёздное время и фундаментальные аргументы являются линейными функциями времени (188);

• алгоритм аналитического интегрирования (191), (192) не учитывает короткопериодические вариации позиционных параметров.

Влияние части из этих упрощений на методическую точность предлагаемой модели будет уменьшено с помощью специальных алгоритмов, представленных в следующем разделе, влияние же остальных можно будет оценить в процессе обработки наблюдений искусственных спутников Земли.

2.5.7 Новые результаты • Выполнено преобразование осреднённых уравнений движения в систему несингулярных элементов орбиты.

• Дан алгоритм дифференцирования элементарных слагаемых по каноническим переменным промежуточной орбиты.

• Разработан алгоритм вычисления правых частей уравнений движения.

• Разработан алгоритм вычисления короткопериодических неравенств.

2.6 Дополнительные алгоритмы 2.6.1 Координатные условия Современная теория движения планет, Луны и Солнца [202], построенная в барицентрической системе отсчта, получена численным интегрированием релятивистских уравнений движения, записанных в постньютоновском приближении с помощью изотропных координатных условий [200].

Международный астрономический союз, принимая во внимание факт, что многие работы по теории относительности выполнены при использовании “гармонических” координат, оказавшихся полезными для приложений, рекомендует выбор гармонических координатных условий [199].



Обозначим f – гравитационная постоянная, m0 – масса Солнца, mk, k 0 – массы планет, r – барицентрический вектор положения произвольной точки в пространстве, rk – барицентрический вектор положения объекта с номером k, vk – барицентрический вектор скорости объекта с номером k, vk – квадрат модуля вектора скорости, U – потенциал в произвольной точке пространства, создаваемый системой частиц, взаимодействующих по закону Ньютона, W – скалярная функция, V – векторная функция с компонентами V1, V2, V3.

Пространство-время определяется значениями 10 компонент метрического тензора g. Составляющие метрического тензора равны Изотропная форма представления метрики пространства-времени N + взаимодействующих частиц предполагает, что Метрика, полученная под гармоническими координатными условиями, отличается от изотропной в выражениях для дополнительных потенциалов Обратимся к формулам (209)-(213).

Потенциал U пропорционален v 2.

Выражение 4 имеет порядок 4.

Выражение 3 пропорционально 3.

Формулы для метрических коэффициентов gij совпадают для обоих координатных условий. Отличие в коэффициенте g00 возникает только в четвёртом порядке, отличие в коэффициентах g0i возникает в третьем порядке относительно.

Из этого следуют следующие выводы: отличия в координатах x1, x2, x будут порядка 2, отличия в координатном времени x0 смогут проявиться на уровне 4.

С помощью тензорного преобразования выведем формулы связи между координатами x 0, x 1, x 2, x 3, удовлетворяющими “изотропным” координатным условиям, и “гармоническими” координатами x0, x1, x2, x3.

Закон преобразования ищем в виде причём вариация x0 (x 0, x 1, x 2, x 3 ) имеет четвёртый порядок, а вариация xi (x 0, x 1, x 2, x 3 ) – второй порядок относительно.

Подставим соотношения для координат в формулу преобразования, выполним разложение правой и левой частей равенства в ряд Тейлора и приравняем величины одинакового порядка малости. В результате получим следующие дифференциальные соотношения Зависимость функций x0 и xi от координат исчезает, а интегрирование по переменной x 0 приводит к определенным интегралам Выражения, стоящие под знаком интеграла, суть известные функции координат и времени и вычисляются на основе численной теории движения Солнца, Луны и планет [202].

Существует два способа выполнения расчётов. В первом фиксирована точка с координатами x, y, z, и поправки на каждый следующий момент времени вычисляются именно для этой точки. Второй способ состоит в вычислении вариаций t(t ), xi (t ) вдоль траектории движения небесного тела или космического аппарата.

Расчёты показали, что значения вариаций очень малы. Для пространстx,метры венно-временной траектории Земли, например, они не превосходят 3 метра на интервале 100 лет. Рис.5 иллюстрирует результаты вычислений. Начальная точка совпадает с эпохой 2000.0, январь, 1.5.

2.6.2 Влияние приливов Преобразование функций RM t и RSt, обусловленных приливными деформациями, вызываемыми, соответственно, Луной и Солнцем, выполнено на основе формулы (150). В алгоритме использованы номинальные значения приR(0) I(0) ливных чисел Лява k2k, k2k, k30, k31, k32, k33 [189], не зависящие от частоты приливной волны.

Формула (150) записана в системе истинного экватора. Вид функции в земной опорной системе отсчёта приведён на с.40. Именно такой вид функции был использован авторами стандарта вычислений [198]. Угол долготы Луны и угол долготы Солнца привязаны к гринвичскому меридиану. Для возмущающей функции было получено выражение, использующее поправки к численным значениям коэффициентов геопотенциала (34). В земной системе отсчёта функция, обусловленная приливными деформациями, имеет периоды изменения, приблизительно кратные звёздным суткам. В исходной формуле (150), связанной с истинным экватором даты, таких периодов нет.

Использование земной системы отсчёта удобно в алгоритмах численного интегрирования: влияние приливов на движение спутников учитывается вместе с вычислением ускорений от гравитационного поля Земли. При аналитическом подходе возмущения, обусловленные приливами упругой Земли, рассматриваются вместе с прямыми возмущениями от Луны и Солнца.

В стандартных соглашениях [189] возмущения, вызываемые зависимостью чисел Лява от частоты приливной волны и океаническими приливами, рекомендовано учитывать тем же способом, что и основные приливные эффекты:

путём вычисления вариаций числовых значений коэффициентов разложения гравитационного поля Земли в ряд по сферическим функциям (формулы (37) и (38), с.41). Вариации зависят от звёздного времени и пяти фундаментальных аргументов. В результате перехода в систему истинного экватора формулы становятся значительно проще.

Для примера используем только два слагаемых суммы (37). Запишем их в ненормированном виде и учтём угол фазы, равный 180. Сделаем одно допущение: будем пренебрегать отличиями среднего и истинного звёздного времени и величину S заменим на S :

где Используем соотношения аналогичные формулам на с.79, и получим Угловая величина является линейной комбинацией фундаментальных аргументов. Зависимость от звёздного времени у возмущающей функции, обусловленной чувствительностью чисел Лява к частоте приливной волны, исчезает при переходе к системе истинного экватора. Это же утверждение справедливо и для возмущающей функции, обусловленной океаническими приливами и вычисляемой с помощью поправок (38) (с.41).

2.6.3 Тень Земли Функцию (153), обусловленную действием светового давления, следует добавить в возмущающий гамильтониан (48).

При расчётах необходимо учитывать эффект, обусловленный прохождением спутника в тени Земли. Алгоритм вычисления моментов захода в тень и выхода из тени изложен, например, в лекциях профессора В.В.Нестерова [110].

Пусть r(t) и R (t ) – векторы положения объекта и Солнца относительно центра Земли в любой системе отсчёта. Координаты Солнца следует вычислить на более ранний по отношению к t момент t с учётом времени распространения света. Перенесём центр системы координат на спутник и определим косинус угла между направлением на Солнце и на центр Земли:



Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 20 |
 

Похожие материалы:

« УДК 524.7;524.72-4 КАЙСИНА Елена Ивановна БАЗОВЫЕ СВОЙСТВА ГАЛАКТИК МЕСТНОГО ОБЪЕМА (01.03.02 - Астрофизика и звездная астрономия) ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук Научный руководитель: доктор физико–математических наук, профессор Караченцев И. Д. Нижний Архыз – 2014 2 Оглавление Введение Общая характеристика работы Актуальность Цели и задачи исследования Научная новизна Научная и практическая ценность работы Основные результаты ...»




 
© 2013 www.dis.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.