WWW.DIS.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 20 |

Чазов вадим викторович разработка и применение алгоритмов численно-аналитического метода вычисления положений искусственных спутников земли диссертация на соискание учёной степени

-- [ Страница 12 ] --

Объект находится в тени Земли при выполнении двух неравенств где r – перпендикуляр к линии, соединяющей Солнце и спутник:

На затенённом участке орбиты сила светового давления равна нулю. Алгоритм учёта эффекта тени заключается в процедуре внесения поправок в числовые значения как средних, так и оскулирующих параметров орбиты.

В процессе численного интегрирования осреднённых уравнений движения принимают во внимание возмущения, обусловленные гамильтонианом (48) (с.47) и функцией (153). На интервале очередного шага численного интегрирования находят все случаи прохождения спутника в тени Земли.

Для каждого затенённого участка орбиты с помощью функции (153) определяют числовые значения изменений “несингулярных” элементов, обусловленных действием светового давления. Все изменения суммируют и результат суммирования вычитают из числовых значений “несингулярных” элементов, полученных на конце очередного шага численного интегрирования. Таким способом выполняют коррекцию начальных условий перед следующим шагом интегрирования осреднённых уравнений движения.

2.6.4 Согласование моделей При учёте возмущений в движении спутника от притяжения Луны и Солнца метод численного интегрирования имеет преимущество по быстродействию и точности перед численно-аналитическим подходом. Файлы с коэффициентами аппроксимации полиномами Чебышева [202], рекомендованные в качестве стандарта вычислений, позволяют в процессе численного интегрирования уравнений движения искуственных спутников почти мгновенно получать положения планет, Луны и Солнца относительно Земли, необходимые для определения возмущающих ускорений. В аналитическом подходе используют приближённые ряды для представления функций от координат возмущающих тел (с.173), не отвечающие стандартным соглашениям [189].

Для согласования моделей движения Луны и Солнца используется методика разностно-полиномиальной коррекции [36]. На последовательных интервалах времени продолжительностью от двух до трёх суток вычисляются разности Ank, Bnk между значениями функций (148), определёнными с помощью приближённых разложений, и соответствующими значениями, полученными на основе координат небесных тел, взятых из численных эфемерид [202]. Разности, аппроксимированные полиномами по времени подставляются в возмущающую функцию (формула (147) на с.80). Аналитическое интегрирование с помощью рекуррентных сооношений позволяет найти поправки к элементам орбиты на каждом из интервалов аппроксимации. Значения поправок в конце предыдущего интервала являются начальными условиями для операции интегрирования на следующем отрезке.

Время вычислений сокращается, точность возрастает, и ни одно из положений стандарта вычислений не нарушено.

2.6.5 Косвенное ускорение При записи возмущающей функции (формула (27) на c.37), обусловленной притяжением внешнего тела, было учтено взаимодействие Земли и внешнего тела как материальных точек. В этом случае разложение не содержит косвенной части.

Учтём сжатие Земли и запишем дополнительную часть возмущающей функции, обусловленной действием Луны на Землю:

где f – гравитационная постоянная, r0 – экваториальный радиус Земли, J2 – коэффициент при второй зональной гармонике, P2 (x) – полином Лежандра второго порядка, r – расстояние между Землёй и Луной, x, y, z – координаты Земли относительно Луны.

Дифференцируя потенциал U по переменным x, y, z, определим составляющие ускорения W центра масс Земли, обусловленного взаимодействием Луны и сжатия Земли. Для того, чтобы в выражениях для ускорения перейти к координатам Луны относительно Земли, следует знак каждой из переменных x, y, z поменять на противоположный:

Неинерциальность системы отсчёта, выбранной для изучения движения спутника, обусловлена не только вращением относительно небесной опорной системы отсчёта с угловой скоростью (t) (формула (21) на с.34), но и ускорением W, вызываемым взаимодействием Луны и сжатия Земли. Гамильтониан задачи K (с.35) надо дополнить ещё одним слагаемым – скалярным произведением ускорения W на вектор положения объекта r [117]:

Возмущающая функция RW = W · r = z Wz xWx y Wy имеет вид где Действия с функцией (221) выполняются с помощью тех же алгоритмов, которые были использованы для преобразования возмущающих функций, обусловленных притяжением Луны и Солнца (формула (147) на с.80).

2.6.6 Новые результаты • Общий вывод заключается в следующей рекомендации:

в прикладных задачах достаточно записать релятивистские уравнения движения пробной частицы на основе “гармонических” координатных условий, а при вычислении возмущающих сил использовать “изотропные” координаты Солнца, Луны и планет.

• Выражения для учёта возмущений от приливов упругой Земли и океанических приливов, записанные во вращающейся системе отсчёта и рекомендованные Международной службой вращения Земли, были преобразованы к системе отсчёта, связанной с истинным экватором даты.

• Для согласования численной и аналитической моделей возмущающих сил, обусловленных действием Луны и Солнца, использована методика разностно-полиномиальной коррекции.

• Неравенства вследствие косвенного ускорения вычисляются с помощью ранее разработанных алгоритмов.

3 Применение алгоритмов 3.1 “Средние” элементы Начальные параметры движения искусственных спутников Земли в формате “двустрочных” (“средних”) элементов кеплеровской орбиты [206] и наборы данных с результатами высокоточных измерений топоцентрических дальностей [190] являются составной частью массива исходных данных.



Параметры орбиты, входящие в соотношения обобщённой задачи двух неподвижных центров, с точностью до второй степени относительно малого параметра, сжатия Земли, близки параметрам движения в формате “двустрочных” элементов. Для шести спутников (табл.8) использованы “средние” Таблица 8: Оценка погрешности прогноза на основе “средних” элементов Спутник минимальная интервал прогноза интервал прогноза элементы и массивы измерений топоцентрических дальностей за январь и февраль месяцы 2010 года.

С помощью формул обобщённой задачи двух неподвижных центров на основе наборов двустрочных элементов орбиты на моменты наблюдений были получены вычисленные значения топоцентрических дальностей и разности между измеренными и вычисленными величинами (“невязки”). Продолжительность интервала прогнозирования составляет 5 и 15 суток. Самые большие значения “невязок” приблизительно соответствуют оценкам погрешности вычисления положений вдоль траектории движения. Именно эти значения в метрах представлены в табл.8.

3.2 Вычислительные аспекты Рекуррентное соотношение (233) для вычисления полиномов Лежандра высших порядков со с.172 приложения запишем в виде:

с начальными условиями Возможны два варианта применения рекуррентной формулы.

1. Вычисление значения функции Pn (x) для произвольного n при заданном числовом значении аргумента x (численное интегрирование).

2. Нахождение численных значений коэффициентов полинома Pn (x) при различных степенях аргумента x (аналитический подход).

Преимущество рекуррентных соотношений заключается в скорости достижения результата, недостатком является возможная потеря вычислительной точности при вычитании больших чисел.

Первый вариант может быть проверен с помощью тождеств [5] Расчёты показали, что в результате использования формулы (222) с начальными условиями (223) и аргументами x = 1 и x = +1 тождества (224) справедливы с точностью до 15 знаков после запятой при всех порядках полинома Лежандра от n = 1 до n = 720.

Второй способ проверки состоит в использовании формулы для производящей функции полиномов Лежандра [6]:

Расчёты показали (табл.9), что при различных численных значениях параметра и аргумента x значение суммы в правой части выражения (225) соответствует значению функции в левой части с точностью до 12 значащих Таблица 9: Производящая функция для полиномов Лежандра цифр. Целое число Nmax в последней колонке означает наибольший порядок полинома Pn (x) в сумме (225). Значение = 0.96 характерно для объектов с высотой полёта 300 километров над поверхностью Земли.

Для параметра = 0.90, присущего геодезическим спутникам с высотой полёта более 700 километров, значение Nmax 300.

Вывод: для заданных значений аргумента 1 x +1 численные значения полиномов Pn (x) с помощью рекуррентного алгоритма определяются практически без потери вычислительной точности.

Второй вариант используется в разделе 2.3 на предварительной стадии преобразования возмущающей функции.

Пусть ai – численные коэффициенты полинома Pn (x) = Сумма коэффициентов полинома любого порядка всегда равна единице но величины коэффициентов достигают больших значений.

В табл.10 приводятся числовые значения некоторых коэффициентов:

Таблица 10: Величины коэффициентов полиномов 50 36 -189971831414987581. Большое количество нулей после восемнадцатой значащей цифры каждого числа возникает как следствие ограниченности разрядной сетки компьютера.

Вывод: алгоритм (226) определения значений коэффициентов полинома Pn (x) при различных степенях аргумента x приводит к потере вычислительной точности в случае полиномов высоких порядков. Для n = погрешность может оказаться в пятом знаке после запятой. При значениях n 39 нет смысла использовать полученные коэффициенты.

Рекуррентное соотношение (236) для вычисления производных высших порядков от полиномов Лежандра со с.172 приложения запишем в виде:

Каждая из производных представляет из себя полином относительно аргумента x порядка n k. Точность вычисления производных при заданном числовом значении аргумента x можно проверить с помощью соотношений:

Расчёты показали, что в результате использования формулы (227) с различными значениями аргумента 1 x +1 тождества (229) справедливы с точностью до 17 значащих цифр при всех порядках полинома Лежандра от n = 1 до n = 720. Из этого следует, что рекуррентные формулы можно применять для вычисления мгновенных значений правых частей в алгоритме численного интегрирования уравнений движения (с.167 приложения).

В аналитическом подходе (с.78) надо знать числовые значения коэффициdk Pn (x) nk (n,k) i Сравним по порядку величины две пары коэффициентов:

В процессе вычисления производных 6-го порядка от P36 на основе поr лученных значений коэффициентов (алгоритм раздела 2.3.1) точность будет ограничена пятью или шестью значащими цифрами. Для производных 22-го порядка точность окажется ограниченной десятью значащими цифрами.

3.3 Реализация алгоритмов Все предлагаемые алгоритмы были реализованы на языке программирования Free Pascal. Для расчётов использовался персональный компьютер AMD Athlon XP 1800+ с тактовой частотой 1539 МГц.

Пакет прикладных программ получил условное название LENTA. В первой части программного приложения выполняется вычисление тригонометрических рядов для возмущающих функций, обусловленных различными факторами. Далее, в процессе аналитического интегрирования, определяются ряды для функции преобразования и “осреднённого” гамильтониана. Все ряды являются суммами элементарных слагаемых (табл.11).

показатель Лагеос Эталон Эйджисаи Старлет Стелла “стационар” функция Лагеос Эталон Эйджисаи Старлет Стелла “стационар” 3.4 Сравнительные испытания Важное место в процессе разработки и отладки программного обеспечения занимает методика сравнительных испытаний, направленная на определение точностных характеристик расчётов.

Одним из вариантов методики является сравнение результатов прогноза движения с результатами высокоточных измерений топоцентрических дальностей до искусственных спутников Земли, снабжённых уголковыми отражателями. Такие измерения проводятся на обсерваториях с помощью лазерных дальномеров [103].



Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 20 |
 

Похожие материалы:

« УДК 524.7;524.72-4 КАЙСИНА Елена Ивановна БАЗОВЫЕ СВОЙСТВА ГАЛАКТИК МЕСТНОГО ОБЪЕМА (01.03.02 - Астрофизика и звездная астрономия) ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук Научный руководитель: доктор физико–математических наук, профессор Караченцев И. Д. Нижний Архыз – 2014 2 Оглавление Введение Общая характеристика работы Актуальность Цели и задачи исследования Научная новизна Научная и практическая ценность работы Основные результаты ...»




 
© 2013 www.dis.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.