WWW.DIS.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 20 |

Чазов вадим викторович разработка и применение алгоритмов численно-аналитического метода вычисления положений искусственных спутников земли диссертация на соискание учёной степени

-- [ Страница 7 ] --

Зависимость между переменными в этих формулах – явная. Точность вычисления промежуточной орбиты ограничена вторым порядком малости относительно сжатия Земли. Исследования Е.П.Аксёнова, Н.В.Емельянова и В.А.Тамарова [12] показали, что формулы удовлетворяют многим практическим приложениям. С помощью специальной программы “универсальный пуассоновский процессор” [31], созданной коллективом под руководством В.А.Брумберга, Н.В.Емельянов [67] довл решение до четвртого порядка оте е носительно малого параметра – сжатия Земли.

В данной работе предлагается другой подход [159]. С помощью неявных соотношений между переменными будет построен алгоритм для проведения расчётов с точностью, ограниченной только возможностями компьютера. Совокупность формул, выражающая как явные, так и неявные зависимости между переменными, становится алгоритмом для решения поставленной задачи и может быть запрограммирована. Входными данными вычислительной процедуры будут числовые значения величин f m, c, и начальный вектор состояния. Результатом станут численные значения параметров промежуточной орбиты.

2.1.1 От вектора состояния к параметрам орбиты Пусть для начального момента времени t = t0 известны прямоугольные координаты x = x0, y = y0, z = z0 и скорости x = x0, y = y0, z = z0.

Требуется определить элементы промежуточной орбиты a, e, и угловые переменные l0, g0, h0 на момент t0.

Сначала по известным координатам и их производным находим постоянные интегрирования 1, 2, 3. Затем определяем группу позиционных элементов a, e,. После чего найдём начальные значения l0, g0, h0.

2.1.2 Постоянные интегрирования 1, 2, Введм следующие обозначения [5] Для момента t = t0 имеем где через 0, 0, w0 обозначены сфероидальные координаты для начального момента времени.

Начальные значения производных от сфероидальных координат по времени t равны Численные значения произвольных постоянных интегрирования определены формулами [5] 2.1. Методом итераций на основе уравнений где находим числовые значения величин Обозначим = +. Для вычисления поправки используем неявное уравнение в котором Параметр 2 является величиной первого порядка малости относительно сжатия. При вычислениях по формулам (68) – (73) с точностью, ограниченной возможностями компьютера, достаточно выполнить 7 итераций.

Определим также числовые значения величин 1 и Далее последовательно найдём числовые значения параметров Величины 2, e, k2, k2 определены выражениями Вспомогательные величины n, n равны где Параметры 1, s, k1, k1, d, определены выражениями Вспомогательные величины m, m равны где Числовое значение параметра равно а параметры 2j, 2j определены выражениями где K(k) – полный эллиптический интеграл первого рода с модулем k, Cn – “биномиальные коэффициенты”:

Разложение для K(k) имеет вид Ряд сходится при k 1.

Параметр является малой величиной первого порядка относительно сжатия. Параметры 2j, 2j пропорциональны сжатию в степени j, их числовые значения быстро убывают при увеличении индекса j. По этой причине верхний предел знака суммирования в формулах (81) и (82), равный бесконечности, можно с учтом вычислительной точности заменить на некоторое целое число M. Коэффициент при второй зональной гармонике разложения геопотенциала имеет порядок 103, и численное значение M = 7 обеспечит точность вычислений с 20 значащими цифрами.

Определим далее числовые значения величин и параметров где Для вычисления параметров и коэффициентов периодических членов имеющих первый и более высокие порядки малости относительно сжатия, разработан алгоритм, включающий процедуры умножения и деления многочленов и процедуру интегрирования функции косинус произвольного угла, возведённой в любую целую степень.

2.1.4 Алгоритм операций с полиномами Дифференциальные соотношения между независимой переменной и угловыми переменными, имеют вид где параметры k1 и k2 являются величинами первого порядка малости относительно сжатия.

Для дифференциальных соотношений справедливы разложения где верхний предел суммирования, равный бесконечности, заменён на конечное число M = 7. Правые части равенств (87) и (88) можно рассматривать как многочлены от переменных cos и cos, соответственно.

Неявная связь между угловыми переменными и задаётся формулой Это выражение и формулы (80), (81) (с.56) для вычисления параметров, 2j, 2j были получены в результате приравнивания дифференциалов (87) и (88) и интегрирования с использованием формул При определении числовых значений параметров (85) и (86) в дополнении к равенствам (90) используем ещё два полезных алгоритма.

Первый алгоритм опубликован в монографии Н.В.Емельянова [66].

Пусть заданы многочлены переменной z с численными коэффициентами ai, bj. Результатом умножения полиномов будет многочлен с численными коэффициентами ck Интересен и алгоритм деления многочленов или, другими словами, алгоритм выделения целой части. Пусть I J, тогда Вычисление коэффициентов dk и gn происходит за I J + 1 шагов. Начальные значения dk = ak, 0 k I и gn = 0. Далее на каждом шаге изменяются численные значения J коэффициентов dk, причм коэффициент dk при текущей старшей степени z k становится равным нулю, и степень многочлена в числителе уменьшается на единицу. Это достигается вычитанием из текущего многочлена в числителе многочлена в знаменателе, умноженного на выражение Параметры 0, 0, µ, j, j появляются как результат рассмотрения эллиптических интегралов [5]:

Для вычисления первого интеграла учтём разложение (87) и соотношение где Применяя алгоритм умножения полиномов (91), вычислим многочлен относительно cos, являющийся произведением правой части равенства (87) и выражения 1 2d cos + d2 cos2. Выделяя далее с помощью алгоритма (92) целую часть, получаем На основе соотношений (90) вычислим интеграл где 0, i – численные коэффициенты.



Во втором интеграле (93) выполним разложение подытегрального выраc жения в ряд по степеням Отношение с помощью равенства может быть представлено в виде многочлена по степеням cos. Действительно, где q – величина первого порядка малости относительно сжатия. Применяя к правой части равенства алгоритм умножения многочленов, получаем После возведения (97) в квадрат получим искомый многочлен с численными коэффициентами Выполняя M 1 раз операцию умножения текущего многочлена на выражение (98) и складывая, получим многочлен для подынтегральной функции (95). Умножим его на дифференциал (88) и проинтегрируем, учитывая формулы (90). В результате оказывается, что Определяя параметры придадим формуле для вычисления переменной вид Параметры, j, j появляются как результат рассмотрения эллиптических интегралов [5]:

Первый интеграл запишем в виде Параметры p и p2 + q 2 вычисляются по формулам (78) (с.55) и являются величинами первого порядка малости относительно сжатия.

Для вычисления интегралов учтм, что и представим последовательно выражения в виде полиномов по степеням cos.

Далее с помощью алгоритма умножения полиномов составим подынтегральное выражение и проинтегрируем его. Умножая результат на числовой множитель, получим Для вычисления второго интеграла заметим, что 2 можно представить как произведение полиномов а для дифференциала d использовать формулу (87).

Дважды применяя алгоритм умножения многочленов, после интегрирования получим Определяя параметры, ip, if формулами придадим окончательный вид равенству, связывающему неявным образом угловые переменные l,, и E :

2.1.5 Угловые переменные l0, g0, h Найдм значения угловых переменных E,, в начальный момент t = t0. Переменная E (аналог эксцентрической аномалии):

Переменная (аналог истинной аномалии):

Переменная (аналог аргумента широты):

Численные значения угловых переменных l, g, h в начальный момент времени t0 определяются с помощью соотношений 2.1.6 От параметров орбиты к вектору состояния Пусть в произвольный момент времени t известны численные значения позиционных элементов a, e, и угловых переменных l, g, h. Требуется вычислить координаты x(t), y(t), z(t) и скорости x(t), y(t), z(t).

По формулам (68) – (72) найдём численные значения произвольных постоянных интегрирования 21, 2, 3. Учтём, что для углов наклонений орбиты, превышающих 90, постоянная 3 0, то есть sign(3 ) = 1.

Далее с помощью выражений (73) – (84) и алгоритмов, представленных в разделе 2.1.4 (с.57 – с.62), определяем числовые значения параметров и коэффициентов. Методом последовательных приближений найдм значения уге ловых переменных E,, :

используя при этом соотношения (103).

Переменную вычисляем по формуле Сфероидальные координаты равны где выражение для переменной w следует из равенств Производные по времени от сфероидальных координат равны Искомые прямоугольные координаты определены формулами:

Искомые производные по времени от прямоугольных координат определены формулами:

2.1.7 Проверка алгоритмов В модели гравитационного поля Земли JGM3 геоцентрическая гравитационная постоянная f m, экваториальный радиус Земли r0, коэффициенты при второй J2 и третьей J3 зональных гармониках имеют следующие числовые значения [205]:

Подставляя в (42) (с.45) вместо r0, J2 и J3 их числовые значения (114), получим c = +209.729971234944476 км, В табл.2 содержатся численные значения нескольких коэффициентов, соответствующих модели гравитационного поля Земли JGM3 [205] и промежуточному потенциалу (формула (41) на с.45):

Таблица 2: Числовые значения коэффициентов зональных гармоник J4 = 1.6193312052 · 106 J4 = 1.166177041845644980 · J5 = 0.2277161017 · 106 J5 = +0.005469555070724556 · J6 = +0.5396484905 · 106 J6 = +0.001249751229132727 · J7 = 0.3513684419 · 106 J7 = 0.000008844878268002 · J8 = 0.2025187153 · 106 J8 = 0.000001332336307242 · J9 = 0.1193687135 · 106 J9 = +0.000000012692302667 · J10 = 0.2480568648 · 106 J10 = +0.000000001412746230 · J11 = +0.2405652138 · 106 J11 = 0.000000000017045753 · J12 = 0.1819117030 · 106 J12 = 0.000000000001489618 · J13 = 0.2075677323 · 106 J13 = +0.000000000000021939 · J14 = +0.1174173876 · 106 J14 = +0.000000000000001561 · J15 = 0.0176272697 · 106 J15 = 0.000000000000000027 · J16 = +0.0311943085 · 106 J16 = 0.000000000000000002 · Для иллюстрации утверждения о том, что точность алгоритмов вычисления промежуточной орбиты ограничена только накоплением ошибок округления, был проделан численный эксперимент.

Для модельного объекта, совершающего 13.98 оборотов за сутки и имеющего следующие параметры орбиты методом численного интегрирования дифференциальных уравнений движения на интервале времени 100 суток были вычислены эталонные значения прямоугольных координат xe (t), ye (t), ze (t). В правых частях уравнений движения были учтены гравитационные силы, обусловленные только промежуточным потенциалом (табл.2).

Начальному вектору состояния объекта на момент t = 0. x = +4917.49973747459503 км, x = 1.2636786137103486 км/с, y = +3693.31783253124247 км, y = +6.0704892431019494 км/с, z = +3866.34490247898799 км, z = 3.9703600780539020 км/с соответствуют параметры промежуточной орбиты (с.52) На моменты t эталонных значений координат с помощью набора параметров (116) и алгоритма (с.63) были определены положения модельного объекта xm (t), ym (t), zm (t). Величина биты. График изменения r(t) представлен на рис.3. Отношение величины нения, равного 8.64 · 106 секунд времени, не превышает 1012.

2.1.8 Новые результаты В разделе 2.1 представлены следующие новые результаты, полученные автором впервые [159].

• Выведена система уравнений (68)-(73), предложен и реализован итерационный алгоритм её решения.

• Предложен и реализован алгоритм вычисления эллиптических интегралов на основе операций над многочленами (87)-(102).

• Предлагаемые алгоритмы обеспечивают точность вычислений параметров промежуточной орбиты, ограниченную только возможностями компьютера (рис.3).



Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 20 |
 

Похожие материалы:

« УДК 524.7;524.72-4 КАЙСИНА Елена Ивановна БАЗОВЫЕ СВОЙСТВА ГАЛАКТИК МЕСТНОГО ОБЪЕМА (01.03.02 - Астрофизика и звездная астрономия) ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук Научный руководитель: доктор физико–математических наук, профессор Караченцев И. Д. Нижний Архыз – 2014 2 Оглавление Введение Общая характеристика работы Актуальность Цели и задачи исследования Научная новизна Научная и практическая ценность работы Основные результаты ...»




 
© 2013 www.dis.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.