WWW.DIS.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 20 |

Чазов вадим викторович разработка и применение алгоритмов численно-аналитического метода вычисления положений искусственных спутников земли диссертация на соискание учёной степени

-- [ Страница 8 ] --

2.2 Частные производные 2.2.1 Переменные действия Переменные действия A1, A2, A3 определены формулами [5] где () и F () даются равенствами (51), 1 и 2 – корни многочлена (), между которыми изменяется координата, а 1 и 2 – корни многочлена F (), лежащие в промежутке [1, +1].

Вторая группа элементов – переменные угол B1, B2, B3, сопряжнные переменным действия A1, A2, A3, определены формулами [5] где S – выражение (50), в котором 1, 2, 3 считаются функциями A1, A2, A3.

Три уравнения общего интеграла (52) (с.48) можно записать в виде Сравнивая выражения (50), (52) и (117), сразу получаем формулы для частных производных Учитывая пределы интегрирования, имеем Обращение матрицы приводит к частным производным от параметров k по элементам Ak :

Выражения (117) перепишем в виде Подставляя сюда явный вид функций (), F () (51) и сравнивая результат подстановки с соотношениями (52), замечаем, что почти все интегралы, кроме двух новых, нам уже известны:

2.2.2 Частные производные по элементам L, G, H Канонические элементы действия L, G, H определены формулами [5] то есть где, µ, 0, 0,, I, I – величины первого порядка малости относительно сжатия, причём Численные значения I и I находятся с помощью алгоритмов умножения и интегрирования многочленов относительно cos и cos соответственно (с.57), после подстановки пределов интегрирования число в знаменателе сокращается.

Частные производные от постоянных интегрирования 1, 2, 3 по переменным действия L, G, H принимают вид Первое полезное свойство совокупности частных производных (120) проявляется в алгоритме вычисления наборов величин a, e, и 21, 2, на основе известных численных значений элементов L, G, H. Для удобства обозначим L1 = L, L2 = G, L3 = H. В нулевом приближении полагаем Далее на основе уравнений (68)-(73) методом последовательных приближений находим числовые значения величин (a)0, (e)0, ()0, а затем, также в нулевом приближении, последовательно вычисляем другие параметры задачи: элементы (L)0, (G)0 и частные производные от величин 1, 2 по этим элементам. Уточннные значения параметров находим по формуле линейных разностей Процесс сходится очень быстро, за две – три итерации.

Второе полезное свойство соотношений (120) тоже достаточно очевидно. С их помощью выполняется дифференцирование позиционных параметров a, e, по каноническим элементам действия L, G, H. Алгоритм состоит из трх шагов. Продифференцируем каждую из формул (68), (69), (70) по явно входящим величинам a, e2, 2 (приложение, с.171) и вычислим матрицу Численное обращение этой матрицы даст значения частных производных от параметров a, e2, 2 по 1, 2, 3, и, наконец, численные значения производных по каноническим элементам получаем в результате суммирования 2.2.3 Частные производные по параметрам a, e, Частные производные первого порядка по каноническим элементам действия L, G, H будут необходимы при вычислении правых частей осреднённых уравнений движения (раздел 2.5, c.102). Промежуточная орбита на основе обобщённой задачи двух неподвижных центров включает в себя несколько десятков параметров (списки под номерами (76), (85), (86), например), зависящих от позиционных элементов a, e, явным образом. Если известны производные от любого параметра p по a, e,, то производные от этого параметра по L, G, H вычисляются с помощью соотношений (122):

Частные производные первого и более высоких порядков от различных параметров промежуточной орбиты по позиционным элементам будут необходимы также при преобразованиях возмущающей функции (раздел 2.3, с.78).

Предлагаемый алгоритм обобщает алгоритм вычисления параметров промежуточной орбиты (раздел 2.1, с.52): вместе с численным значением каждого параметра вычисляются частные производные первого и более высоких порядков от этого параметра по позиционным элементам a, e,.

Основу алгоритма составляет множество M одномерных массивов чисел.

На этом множестве определён единичный массив, первый элемент которого равен единице, значения всех остальных элементов равны нулю.

Для каждого параметра p промежуточной орбиты определён свой массив чисел P(p). Первый элемент массива содержит численное значение параметра, следующие элементы содержат численные значения трёх первых и шести вторых независимых частных производных по позиционным элементам:

Численные значения десяти независимых частных производных третьего порядка по параметрам a, e, составляют содержание остальных элементов массива:

Для двух массивов чисел P(p), Q(q) определены операции сложения и умножения. Пусть a1 = a, a2 = e, a3 = и индексы i, j, k принимают значения 1, 2, 3. Результатом сложения P(p) + Q(q) является массив чисел R(r), образованный попарным сложением элементов:

Результатом умножения P(p) Q(q) является массив чисел R(r) :

Для операции возведения в произвольную степень b, выполняемой над массивом чисел P(p), достаточно определить значения элементов массива R(r) :

Входными параметрами алгоритма вычисления частных производных являются числовые значения позиционных элементов a, e,. Начальные одномерные массивы выглядят следующим образом:

Алгоритм формирования конечного множества M заключается в вычислении массивов, содержащих частные производные от величин 2 (формула (71) на с.54), Q (формула (72)), 2 1 (формула (68)), 2 (формула (69)), 3 (формула (70)), и всех остальных, включая упомянутые ранее параметры из списков под номерами (76), (85), (86). Алгоритм составлен так, что сумма или произведение параметров заменяются на операции сложения или умножения, выполняемые над массивами чисел, соответствующих этим параметрам. Деление равносильно возведению в степень, равную (1).



2.2.4 Производные от угловых переменных Частные производные от угловых переменных,, E, по позиционным параметрам a, e, получаются путём непосредственного дифференцирования формул (103)-(106):

и использования метода последовательных приближений. В нулевом приближении частные производные определены формулами:

Достаточно двух-трёх итераций.

Частные производные от переменных,, E, по каноническим угловым элементам l, g, h вычисляются по той же схеме:

с производными в нулевом приближении 2.2.5 Новые результаты В разделе 2.2 представлены следующие новые результаты, полученные автором впервые [159].

• Разработан алгоритм вычисления численных значений канонических переменных действия.

• Разработан алгоритм вычисления частных производных по каноническим элементам промежуточной орбиты.

• Разработан алгоритм вычисления частных производных высших порядков по позиционным параметрам.

• Точность вычислений ограничена только возможностями компьютера.

Присутствие частных производных высших порядков позволяет сохранить информацию о том, как тот или иной параметр был вычислен. Пусть, например, одномерный массив чисел, соответствующий параметру p, получен для конкретных числовых значений позиционных элементов a0, e0, 0. Расчёты показали, что для малых численных значений разностей мгновенное значение любого параметра p с относительной точностью порядка 104 107 определяется с помощью первых членов формулы Тейлора:

где 2.3 Алгоритм преобразования В публикациях А.М.Фоминова [154, 155], В.В.Нестерова и Г.В.Романовой [108, 111] авторы использовали различные промежуточные орбиты (кеплеровскую орбиту и орбиту, построенную на основе решения К.Акснеса [176]), но разложение возмущающей функции было выполнено с помощью формул кеплеровского движения, то есть с точностью до второго порядка относительно малого параметра – сжатия Земли.

В статьях Н.В.Емельянова [68], Н.В.Емельянова и Л.П.Насоновой [71] с помощью некеплеровской промежуточной орбиты, основанной на решении обобщённой задачи двух неподвижных центров, получено разложение возмущающей функции, обусловленной гравитационным полем Земли, притяжением Луны и Солнца, с точностью до третьей степени относительно сжатия.

В данном разделе представлен алгоритм преобразования возмущающего гамильтониана с произвольной методической точностью.

2.3.1 Аномальный геопотенциал Пусть x, y, z – координаты вектора r в системе отсчёта, связанной с истинным экватором.

Модуль расстояния равен r = | r | = Координаты вектора r в земной системе отсчёта обозначим x, y, z.

С точностью до первых степеней малых параметров xp, yp (координаты полюса, с.24) приближённые формулы связи земной системы отсчёта и системы истинного экватора имеют вид Возмущающая функция, обусловленная аномальной частью геопотенциала, в земной системе отсчёта представлена формулой (44) (с.46).

Величина в этом выражении – угол долготы в земной системе отсчёта.

Угол долготы, отсчитываемый от истинной точки весеннего равноденствия вдоль истинного экватора, равен w = S +, причём S – гринвичское истинное звёздное время (с.24), и Разложим выражение для полинома Лежандра Pn (/r) в ряд Тейлора.

С точностью до первого порядка относительно z (формула (143)) получим Аномальную часть геопотенциала в системе истинного экватора запишем в виде где величины Cnk = Cnk cos kS Snk sin kS, Snk = Cnk sin kS + Snk cos kS, являются функциями звёздного времени.

Принимая во внимание определение присоединённых функций Лежандра (формула (237) на с.172 приложения), формулу (144) и две теоремы сложения для суммы аргументов тригонометрических функций (239), получим следующий результат: рекуррентный алгоритм расчёта возмущающего потенциала (145) основан на начальных значениях четырёх функций координат спутника Знаменатель, возникающий при вычислении cos kw, sin kw, сокращается с таким же выражением в числителе после раскрытия соотношеk) ния для присоединённой функции Лежандра Pn (z/r) (приложение, с.172).

2.3.2 Притяжение светил Возмущающий потенциал, обусловленный притяжением Луны или Солнца, можно представить в виде (27) (с.37) в разложении оставлено Np 1 слагаемых, индекс p в случае Луны принимает значение M, в случае Солнца – S, rp – геоцентрический вектор положения возмущающего тела, rp – геоцентрическое расстояние, Угол долготы возмущающего тела, отсчитываемый от истинной точки весеннего равноденствия вдоль истинного экватора, обозначим wp. Раскроем выражение и применим теорему сложения для полиномов Лежандра (формула (238), с.172 приложения):

Формула (27) выглядит теперь так где коэффициенты зависят только от координат возмущающего объекта Сравнение выражений (145) и (147) показывает, что рекуррентный алгоритм расчёта потенциала (147), обусловленного притяжением третьего тела, основан на начальных значениях четырёх функций координат спутника 2.3.3 Эффект приливов Гравитационное действие Луны и Солнца вызывает приливы упругой Земли. Во внешнем пространстве появляется дополнительный потенциал (формула (33) на с.40) где knk – числа Лява. В современной теории приливов параметры k2k состоят из действительной kR и мнимой kI частей и зависят от частоты приливk 2k ной волны. Параметры k3k являются действительными числами. Коэффиp) (p) циенты Ank, Bnk зависят от координат возмущающего объекта в системе истинного экватора и определены соотношениями (148).

Рекуррентный алгоритм расчёта дополнительного потенциала (150) основан, как и в случае геопотенциала (145), на начальных значениях четырёх функций координат спутника (146) (с.79) :

2.3.4 Световое давление Выражение для ускорения Fr, обусловленного давлением солнечного света, записано на с.38 (формула (28)).

Коэффициент отражения Cr является произведением двух сомножителей, один из которых есть постоянная величина P0, а значение второго – сложная функция времени, определяемая конструктивными особенностями космического аппарата.



Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 20 |
 

Похожие материалы:

« УДК 524.7;524.72-4 КАЙСИНА Елена Ивановна БАЗОВЫЕ СВОЙСТВА ГАЛАКТИК МЕСТНОГО ОБЪЕМА (01.03.02 - Астрофизика и звездная астрономия) ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук Научный руководитель: доктор физико–математических наук, профессор Караченцев И. Д. Нижний Архыз – 2014 2 Оглавление Введение Общая характеристика работы Актуальность Цели и задачи исследования Научная новизна Научная и практическая ценность работы Основные результаты ...»




 
© 2013 www.dis.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.